Равенство чисел по интервалу

[Апис]

Каждому простому и составному числу даём последовательные номера (n). p_n. q_n.
Числа простые и составные с одинаковыми номерами, будем называть (равными по интервалу).
Обозначать равенство чисел по интервалу будем знаком (=). Например: 2(=)4, 3(=)6, 5(=)8, 7(=)9, 11(=)10, 13(=)12, 17(=)14, 19(=)15 23(=)16,… Равенство по интервалу (=) обозначается любыми числами.
Например: p_n^2(=)g
$\frac{{p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} = g$
Приведу примеры вычислений по двум, например таким формулам.
$\frac{{2{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} = g$ $\frac{{2{q_n}\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} = {g_{(/)}}$ Насколько результат вычисления не совпадает с 2p_n(=)g и с 2q_n(=)g(/)
Например (n) =19
134(=)19,95633806837008(13≈11.95) 60(=)402,8795249135935 (60≈60)
(n)=50
458(=)52,04360106688154 (38≈37) 140(=)1232,0438763950 (140≈152)
Для первой формулы:
Простые числа считаем на интервале$\left( {{p_n},2{p_n}} \right)$ Составные числа считаем на интервале $\left( {0,g} \right)$
Для второй формулы:
Количество составных чисел дано 2q
Простые числа считаем на интервале $\left( {{p_n},{g_{(/)}}} \right)$
Как вы понимаете всё это предварительный результат, но зато какой подход к проблеме.

[migmit]

Апис в сообщении #572218 писал(а):

Равенство по интервалу (=) обозначается любыми числами.

С этого момента я перестал понимать. Обозначают не числами, обозначают буквами.

[vorvalm]

Апис
А в чем, собственно, проблема ?

[hurtsy]

migmit в сообщении #572244 писал(а):

Обозначают не числами, обозначают буквами

ТС пронумеровал отдельно простые и отдельно составные, и обозначает их присвоенными номерами.Остается дождаться его из карантина и возможно он расскажет свой алгоритм отделения простых от составных. С уважением,

[Апис]

Цитата:

и возможно он расскажет свой алгоритм отделения простых от составных

Алгоритм решета Эратосфена, это и есть отделение простых от составных. Но не в этом вопрос попробую ещё раз
РАВЕНСТВО ЧИСЕЛ ПО ИНТЕРВАЛАМ. Любое число N можно представить как интервал (0,N) состоящий из количества, простых и составных чисел, находящихся на этом интервале. N=(q+g)
(q) – количество простых чисел
(g) – количество составных чисел
(q+g)(=)(q/+g/) Равенство чисел по интервалам, когда (g=q/) количество составных чисел на меньшем интервале, равняется, количеству простых чисел на большем интервале.
(=) Знак равенства чисел по интервалам
Составим ряд из (P_n) – простых чисел, таких, когда при всех числах (g) (q) эти числа представляют собой равенство по интервалам (g=q/).
Например, начало ряда от числа 11
(5+6)(=)(6+7)(=)(7+10)(=)(10+19)(=)(19+48)(=)(48+175)(=)(175+858)(=)(858+5801)(=)(5801+
11,,,,,,,,,13,,,,,,,,17,,,,,,,,,,,,29,,,,,,,,,,,,,,67,,,,,,,,,,,,,,223,,,,,,,,,,,,1033,,,,,,,,,,,,,6659,,,,,,,,,
Изменяя начало ряда, будем иметь другой ряд, отличный от первого, из простых чисел. Начало ряда, следует начинать от простого числа. не входящего в уже существующий ряд, иначе просто будет повтор ряда с этого числа. Например, начало от 19
(8+11)(=)(11+20)(=)(20+51)(=)(71+282)(=)(282+1549)(=)(1549+11454)(=)(11454+
19,,,,,,,,,,,,,31,,,,,,,,,,,,,,71,,,,,,,,,,,,353,,,,,,,,,,,,,,1831,,,,,,,,,,,,,,13003,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
И ещё один ряд для примера с простого числа 2
(2+0)(=)(0+3)(=)(3+2)(=)(2+3)(=)(3+2)
2,,,,,,,,,,,3,,,,,,,,,,,,,,5,,,,,,,,,,5,,,,,,,,,,,5
И ещё один ряд для примера с простого числа 7
(4+3)(=)(3+2)(=)(2+3)(=)(3+2)(=)(
Вывод. Когда количество простых чисел больше чем количество составных чисел на интервале, ряд не растёт. Значит, правильно поступили, начало для первого ряда, с числа 11.

Продолжим. Ещё один ряд для примера, простое число 23
(9+14)(=)(14+29)(=)(29+80)(=)(80+329)(=)(329+1878)(=)(1878+
23,,,,,,,,,,,,,,,43,,,,,,,,,,,109,,,,,,,,,,,409,,,,,,,,,,,,,2207,,,,,,,,,,,,,
Что мы имеем, три бесконечных ряда состоящих из одних простых чисел, и простые числа в рядах не повторяются.
И таких рядов
1) Бесконечно?
2) Остановимся пока на первом вопросе. Потому что вопросов много.
3) Как найти простое число (p_n) по его номеру (n)? Используя формулу алгоритма решета Эратосфена.
4) Дополнение к первому вопросу. Почему одни простые числа являются начальными числами ряда, а другие нет, и в чём их различие?

[Апис]

Найти простое число (p_n) по его номеру (n).
Дано: Ряд из простых чисел, эти числа имеют одно общее свойство, при представлении простого числа в виде суммы из количества простых чисел и составных чисел. Тогда между собой их объединяет равенство чисел по интервалам. Когда количество составных чисел в одной сумме, равно количеству простых чисел в следующей сумме.
Найти по простому числу (p_n) и по количеству составных чисел из его суммы, следующее простое число.
Искомое простое число будет примерно возле значения
$\frac{{g - q}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}$
Та же проблема – величина погрешности вычисления. Но это можно использовать во благо. Количество простых чисел (а через него и количество составных чисел) берём не точное табличное значение(q), а результат вычисления по формуле ${p_n}(\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )$ и получим
$\frac{{\left[ {{p_n} - \left( {{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}} + 2n} } \right)} \right]}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} = \frac{{{p_n}(1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} ) - 2n}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}$
формула для нахождения простого числа по его номеру.
Результат, конечно то же с погрешностью, но с меньшей на величину $\frac{{g - q + 2n - {p_n}(1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} = {p_n}$
Например:
1) (p_n)=353 (g)=282 (q)=71

353(1-0,094821341871645541145639422032079) - 142 / 0,094821341871645541145639422032079=1872,237439537812 (1831) погрешность вычисления 41,23743953781248

2)(p_n)=409 (g)=329 (q)=80
409(1-0,092619036820577583776226610208243) – 160 / 0,092619036820577583776226610208243=2279,432190051439 (2207) погрешность вычисления 72,43219005143861

Если дополнительно применить для вычисления количества простых чисел и формулу
$m\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {\frac{{{{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^2}}}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)} \right]$
Вычисление можно сделать ещё более приближённым к искомому результату

[Апис]

(q) – количество простых чисел на интервале
(g) – количество составных чисел на интервале (0,m)
(g+q)=m
$({p_n} \le m < p_{n + 1}^2)$ Неравенство должно выполняться, иначе будет не с погрешность вычисление, а формула будет неверная.
Метод спуска, для нахождения количества простых чисел на интервале$({p_n},p_n^2)$
Используя, равенство чисел (g и q) по интервалам, когда количество составных чисел на меньшем интервале, равняется, количеству простых чисел на большем интервале. Вариант из формул, равенства чисел по интервалам.$m(1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} ) = p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $
Первый шаг. Находим число (m) $m = \frac{{p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{(1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )}}$По формуле $m(1 - \prod\limits_{i = 1}^a {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_s}}}} )$ где ${p_a} < \sqrt m < {p_{a + 1}}$найдём количество составных чисел на интервале(0,m), эта величина так же будет количеством простых чисел на интервале$({p_n},p_n^2)$
Второй шаг. Находим число (m1)${m_1} = \frac{{m\prod\limits_{i = 1}^a {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{(1 - \prod\limits_{i = 1}^a {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )}}$ По формуле ${m_1}(1 - \prod\limits_{i = 1}^b {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )$ где ${p_b} < \sqrt {{m_1}} < {p_{b + 1}}$найдём количество составных чисел на интервале(0,m1), эта величина так же будет количеством простых чисел на интервале
И так далее.
$m = \frac{{p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{(1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )}}$
${m_1} = \frac{{p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}\prod\limits_{i = 1}^a {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } }}{{(1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )(1 - \prod\limits_{i = 1}^a {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )}}$
${m_x} = \frac{{p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}\prod\limits_{i = 1}^a {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}\prod\limits_{i = 1}^b {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} *.....*\prod\limits_{i = 1}^y {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } } }}{{(1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )(1 - \prod\limits_{i = 1}^a {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )(1 - \prod\limits_{i = 1}^b {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )*.....*(1 - \prod\limits_{i = 1}^y {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )}}$
С каждым шагом находим очередное число (mx) И остановится нужно на таком числе (mx) на интервале от которого (0,mx) можно прямым подсчётом, по таблице, узнать, сколько чисел (g и q) на интервале. Узнав сколько составных чисел на конечном интервале, принимаем их количество, за количество простых чисел на предыдущем интервале, вычитаем и узнаем количество составных, которые в свою очередь являются количеством простых чисел на следующем интервале. И так двигаясь обратным ходом, находим количество простых чисел на первоначальном интервале $({p_n},p_n^2)$
Например: p_n=691 (39809) m=44481,23824469494(4514+39966)[4621+39859] m1=5157,16386808899(642+4514)[687+4469] m2=755,6430025826315(112+642) [133+621] m3=147,7911651164801(q+g)(34+112)
Погрешность вычисленияE=(157) E=[-50]
Первый результат формульный показан в круглых скобках погрешность вычисления 157. Второй результат по табличным значениям погрешность вычисления [-50]
Это говорит о том, что предлагаемая вашему вниманию работа, черновой вариант, есть нюансы, мне непонятные. Да и вполне могут быть просто ошибки в рассуждениях.

[Sonic86]

(Оффтоп)

интересно, а что здесь обозначает выражение $(n)$ и чем оно отличается от $n$?

[Апис]

Метод уменьшения погрешности вычисления, количества простых чисел на интервале в несколько раз
Формула для вычисления значения (m) $m = \frac{{p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{(1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )}}$
Для применения метода уменьшение погрешности вычисления, составим таблицу значений по формулам алгоритмов решета Эратосфена до значения (p_n). Что не проблема, таблица составляется один раз и потом используется при вычислениях. Например: Первый столбец значение (n). Второй столбец значение (p_n). Третий столбец, значение вычисленное, по формуле алгоритма решета Эратосфена.
1 2 0,5
2 3 0,33333333333333333333333333333333
3 5 0,26666666666666666666666666666667
4 7 0,22857142857142857142857142857143
5 11 0,20779220779220779220779220779221
По значению (m) находим значение (p_n^/)
${p_{{n^/}}} < \sqrt m < {p_{{n^/} + 1}}$
Можно начинать обратный отсчёт. по этой формуле $m = \frac{{p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{(1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )}}(1 - \prod\limits_{i = 1}^{{n^/}} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )$находим количество составных чисел на интервале (0.m), что одновременно является количеством простых чисел на интервале $({p_n},p_n^2)$
Например: p_n=691 m=44481,2382446949 √m=210,9057567841497 199<210,9057567841497>211 (p_n^/)=199
477481* 0,0852192648921898=40690,5791998768 (39809)– Количество простых чисел, в скобках табличное значение.
Е=40690,57981998768-39809=881,5798199876779 погрешность при вычислении по основной формуле $p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $
Вычисление по методу спуска и обратного хода
0477481*,0852192648921898 / 0,9147807351078102*0,8961053609991042=39859,87605494952
Е=39859,87605494952-39809=50,87605494952096 Погрешность вычисления по методу спуска и обратного хода.
Вот вам результат уменьшения погрешности вычисления в несколько раз.
Ещё один пример:
(p_n)=683
0,085342771073193
39811,46393516273 (38826) Е=985,46393516273
(m)= 43526,10210261459
√m=208,6291017634275 (p_n^/)=199
0,10389463900089585434036970613043
$m = \frac{{p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{(1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )}}(1 - \prod\limits_{i = 1}^{{n^/}} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} )$
43526,10210261459*0,8961053609991042=39003,97343754732(38826) Е=177,9734375473155
Уменьшение погрешности вычисления в несколько раз.

[Апис]

Интересно, можно ли доказать, что есть такие два простых числа, с номерами (n) и (m) при которых верно равенство $\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} = \frac{m}{{{p_m}}}$

[Sonic86]

$n=m=1$ пойдет?

[Апис]

Нет. Я написал номера (n) и (m) зачем бы мне один номер разными буквами обозначить. $n \ne m$

[Sonic86]

(Оффтоп)

Апис в сообщении #587838 писал(а):

Нет. Я написал номера (n) и (m) зачем бы мне один номер разными буквами обозначить. $n \ne m$

Апис в сообщении #587803 писал(а):

$\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} = \frac{m}{{{p_m}}}$

Отсюда очевидным образом следует, что $m=n$.
Действительно, дробь $\frac{m}{p_m}$ несократима, т.к. $m<p_m$ и $p_m$ - простое. С другой стороны, в произведении $\prod\limits_{i=1}^n\frac{p_i-1}{p_i}$ множитель $p_n$ в знаменателе наибольший и простой, следовательно, он не сокращается при сокращении произведения $\prod\limits_{i=1}^n\frac{p_i-1}{p_i}$, откуда $p_n=p_m$, откуда $n=m$.
Дальше очевидно: $p_{n-1}\mid p_n-1$, что противоречит чуточку усиленному постулату Бертрана для $n>n_0$. Дальше вообще очевидно.
(По-другому: равенство невозможно для достаточно больших $n$, поскольку $e^{-\gamma}<1$)

[Апис]

Sonic86 в сообщении #587845 писал(а):

(По-другому: равенство невозможно для достаточно больших $n$, поскольку $e^{-\gamma}<1$)

Два примера m=33 m=125
33/137=0,2408759124087591 \prod\limits_{i = 1}^3 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} < {\rm{0}}{\rm{,2408759124087591}} < \prod\limits_{i = 1}^4 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}}

125/691=0,1808972503617945 $\prod\limits_{i = 1}^6 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} < {\rm{0}}{\rm{,1808972503617945}} < \prod\limits_{i = 1}^7 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $

Объясните, при достаточно больших (n) равенство невозможно, то есть значение (n) будет всегда находиться между двумя числами $\prod\limits_{i = 1}^t {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} < n < \prod\limits_{i = 1}^{t + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ Но никогда не будет равно одному из них. Правильно?
Или никогда не будет равно одному из них. А по второму вопрос открыт.

[Sonic86]

К чему примеры - я не понял.
Вас какое уравнение интересует, я тоже не понял.
Если имелось ввиду уравнение $\prod\limits_{i=1}^n\frac{p_i-1}{p_i}=\frac{m}{p_m}$, то оно решений не имеет - я написал почему.
Если имелось ввиду уравнение $\prod\limits_{i=1}^n\frac{p_i-1}{p_i}=m$, то оно решений не имеет просто потому что, $p_i$ не делит числитель.