При каком альфа ряд сходится

[Razor]

Мне нужно найти максимальный $\alpha$, при котором сходится ряд:
$\sum_{n=1}^{\infty} {1 \over (n!\cdot e^{-\alpha\cdot n^2}+(e^ {1 \over {2\cdot n}} - 1)\cdot n^5)^{1 \over \alpha}}$
Попробовал по признаку Даламбера найти предел отношения (n+1)-го члена ряда к n-му, после сокращений получилось так:
$\lim_{n \to \infty} (n+1)^{1 \over \alpha} \cdot e^{-(2n + 1)} = 0$
т.о. ряд сходится при любом $\alpha$, что, я так понимаю, неправильно.

Где ошибка в моих действиях?

[gris]

Я не понял, как это так всё сократилось.
Я бы с помощью формулы Стирлинга и пары эквалентностей сравнил ряд с рядом $\sum n^p$, для которого известно условие сходимости в зависимости от постоянного параметра $p$.

[Razor]

В пределе заменил $e^{1 \over {2n}}$ на 1, отсюда и сократилось.
Или так нельзя?

(Оффтоп)

Эх, как быстро забывается первый курс.

[gris]

Ну так можно было бы, если бы потом не вычиталась единичка. В разности Вы упускаете члены, эквивалентные $1/n$, а ведь они потом умножаются на $n^5$ и превращаются в большие величины.

[Хорхе]

Там в знаменателе первое слагаемое вообще стремится к нулю (кстати, почему?) и потому нам неинтересно. А дальше, как говорит gris, заменяем на эквивалентное.

[Razor]

Если не учитывать первое слагаемое и заменить $e^x-1$ на $x$, и сократить, то получим ряд:
$\sum_{n=1}^\infty{{(2 \codt n^{-4})}^{1 \over \alpha}}$
т.е. ряд сходится при $\alpha < 4$.
Верно?