Использование Теоремы Грина

[Sintanial]

Всем добрый день. Помогите пожалуйста с одной проблемой =).

У меня есть вот такое уравнение в ч.п.

$$\dfrac{\partial C}{\partial t} = \nabla (u\nabla \cdot \mu)$$

Далее мне необходимо перейти к слабой постановке (формулировки) задачи. Необходимо это для того что бы решать уравнение в FE пакете FreeFem++ который понимает только слабые формулировки задач.

Для этого обычно умножают всё уравнение на $v$ - некоторая скалярная функция принадлежащая области $D$ и далее интегрируют по области.

$$\int\limits_{D}v\dfrac{\partial C}{\partial t} dD= \int\limits_{D} v \nabla (u\nabla \cdot \mu) dD$$

Далее мне надо преобразовать правую сторону, и тут у меня проблема. Я не знаю, имею ли я право игнорировать $v$(т.е. не обращать на неё внимание) и использовать теорему Грина.

В итоге если игнорировать $v$ то уравнение перепишется в виде.

$$\int\limits_{D}v\dfrac{\partial C}{\partial t} dD= \oint\limits_{\Sigma} v u \dfrac{\partial \mu}{\partial n} d\Sigma$$

Но у меня такое предчувствие что $v$ игнорировать просто так нельзя, и она тоже участвует в раскрытии правой части

[Sintanial]

Помогите пожалуйста

[Vince Diesel]

Что значит игнорировать? надо формулу применять При интегрировании по частям производные перекинутся на $v$ и будет $u(\nabla v,\nabla \mu)$. И что значит "принадлежащая"? носитель в $D$? Тогда интеграла по границе не будет.

[sup]

Игнорировать $v$, разумеется, нельзя. Рассмотрим простой пример
$\int \limits_0^1 v(x)u''(x)dx = v(1)u'(1) - v(0)u'(0) - \int \limits_0^1 v'(x)u'(x)dx$
Первые два слагаемых соответствуют Вашему поверхностному интегралу. А вот аналога интегралу
$-\int \limits_0^1 v'(x)u'(x)dx$
у Вас нет.
Судя по всему Вам надо добавить в правую часть слагаемое
$-\int \limits_D u(\nabla v, \nabla \mu)dD$

[Sintanial]

$-\int \limits_D u(\nabla v, \nabla \mu)dD$

Подскажите а $(\nabla v, \nabla \mu)$ - это у вас скалярное произведение ?

Чё то я не могу понять как теорему Грина применять =).

Вот у нас $\int \limits_D v\nabla (u \nabla \cdot \mu)dD = \int \limits_D vu\Delta\mu + v\nabla u \cdot \nabla \mu dD$


Дальше я немного не пойму что делать ....

[sup]

(Оффтоп)

Ох уж эти наблы ...

Если я правильно понял смысл Вашей записи, то следует использовать формулу (многомерный аналог интегрирования по частям)

$$\int \limits_D A \operatorname{div}\vec B dD =\oint\limits_{\Sigma} A (\vec n, \vec B) d\Sigma - \int \limits_D (\operatorname{grad} A, \vec B) dD$$

После чего получим

$$\int \limits_D v \operatorname{div}(u \operatorname{grad}\mu) dD =\oint\limits_{\Sigma} vu \dfrac{\partial \mu}{\partial n} d\Sigma - \int \limits_D u(\operatorname{grad} v, \operatorname{grad} \mu) dD$$

[Nimza]

$\nabla ( u \nabla \cdot \mu )$ это вектор, а вот $\nabla \cdot (u \nabla \mu)$ число.

[Sintanial]

Nimza в сообщении #571649 писал(а):

$\nabla ( u \nabla \cdot \mu )$ это вектор, а вот $\nabla \cdot (u \nabla \mu)$ число.

Да, вы правы, ошибся в точке =))

-- Ср май 16, 2012 12:36:41 --

sup в сообщении #571640 писал(а):

(Оффтоп)

Ох уж эти наблы ...

Если я правильно понял смысл Вашей записи, то следует использовать формулу (многомерный аналог интегрирования по частям)

$$\int \limits_D A \operatorname{div}\vec B dD =\oint\limits_{\Sigma} A (\vec n, \vec B) d\Sigma - \int \limits_D (\operatorname{grad} A, \vec B) dD$$

После чего получим

$$\int \limits_D v \operatorname{div}(u \operatorname{grad}\mu) dD =\oint\limits_{\Sigma} vu \dfrac{\partial \mu}{\partial n} d\Sigma - \int \limits_D u(\operatorname{grad} v, \operatorname{grad} \mu) dD$$

Ммм увы но эту формулу я не знал =(.... наверно какой то анаглог Теоремы Остроградского или её модернизация...теперь буду знать =)

[Nimza]

Sintanial в сообщении #571650 писал(а):

наверно какой то анаглог Теоремы Остроградского или её модернизация

Это не аналог, это она и есть. Просто проинтегрировали равенство $\operatorname{div}{(A \vec B)} = A \operatorname{div} {\vec B} + \operatorname{grad} A \cdot \vec B$ (а вот это уже аналог дифференцирования произведения).

[Sintanial]

спасибо, теперь разобрался

-- Ср май 16, 2012 14:25:27 --

Назрел еще один вопрос, подскажите пожалуйста :

можно ли этот интеграл

$$\int\limit_{D} C \nabla v \cdot \nabla C dD= \int\limit_{D} C (\nabla v, \nabla C)$$

Преобразовать так что бы C была отдельно....т.е. сделать интегрирование по частям.... допустимо что бы $C$ было либо только с $\nabla v,v,\nabla C,C$ .... ??

[Nimza]

Sintanial в сообщении #571718 писал(а):

т.е. сделать интегрирование по частям

Можно, засуньте $C$ под $\nabla C$ и воспользуйтесь

$$ \operatorname{div} (u \nabla v) = \nabla u \nabla v + u \Delta v. $$

Вот только вопрос, где Вам это понадобилось. У Вас же $C$ по времени дифференцировалось.