Определение меры Хаусдорфа

[versta]

Мера Хаусдорфа $H_\delta^s$ в $\mathbb{R}^N$ определяется при помощи семейства множеств $E$, у которых

в некоторых источниках: $diam(E)<\delta$
в других: $diam(E)\le\delta$

Хотелось бы аккуратно доказать эквивалентность этих понятий (или где прочитать про это).

[Хорхе]

Вот есть две меры: у одной, $H_{<}$, в определении неравенство строгое, у другой, $H_{\le}$, в определении неравенство нестрогое. Какое очевидное соотношение между ними можно записать?

[versta]

понятно, что
$H_<(E)\ge H_\le(E)$,

а требуется равенство.

[Хорхе]

Ну понятно, да.

А теперь вопрос, что называется, под дых: а что случится, если в определении $H_{<}$ вместо $\mathrm{diam}(E)<\delta$ написать $\mathrm{diam}(E)<2\delta$?

[versta]

Получится определение $H_{2\delta}^s$

[Хорхе]

Ой. А какое у Вас определение меры Хаусдорфа? Я такого и не знаю.

[versta]

имеется ввиду функционал
$H_\delta^s(E):=\inf\{\sum_n \alpha_s\left(\frac{diam(E_n)}{2}\right)^s:E\subset\cup_n E_n,\,diam(E_n)<\delta\}$,

$0<\le s<\infty$, $\alpha_s$ --- некоторая константа

[Хорхе]

Ну так он, ясен пень, зависит от того, строгое там неравенство или нет. И даже не пытайтесь доказать, что не зависит.

Обычно просто берется не такое, а предел $\lim_{\delta\to0+}$ такой штуки.

[versta]

Хорошо бы контрпример, что есть зависимость от знака (строгогоб нестрогого)

[Хорхе]

Да нет, не будет зависеть. Чуть раздули множества - и все получится.

[versta]

так мы вернулись к первому посту

[Хорхе]

Ну вообще не так уж просто, как кажется. Но думать лень Мотивации нет, вот в чем дело. Зачем оно надо вообще? Ну вот есть какой-то огрызок определения меры Хаусдорфа - и что?

[versta]

Так в чистой математике с мотивацией всегда трудно. Хотелось просто понять как покрыть множество $E$ с диаметром равным $\delta$ множествами $\{E_n\}$ с диаметрами $<\delta$ и чтобы оценка выполнялась
$diam(E)^s\ge \sum_n diam(E_n)^s.$ Особливо при $s\in(0,1)$ когда нет выпуклости.

[Хорхе]

Вот, кстати, и "контрпример" (точнее, его идея, но идея правильная).

Давайте посмотрим для простоты в $\mathbb R^2$. А $s$ и $\delta$... Ну пусть оба равны единице, нас устраивает. И пусть множество, нас интересующее - окружность диаметра 1. Кругом диаметра 1 ее легко. Понятно так же, что там и будет инфимум для диаметров, не превышающих 1. Теперь если мы хотим покрыть множествами меньшего диаметра, у нас возникает проблема. Дело в том,что если мы берем множество диаметра близкого (снизу) к единице, то оно по очевидной причине покроет не больше половины нашей окружности, и нам надо взять таких множеств как минимум два, чтобы покрыть. А если мы берем множества диаметров, далеких от единицы, то мы фактически покрываем какой-то вписанный в окружность многоугольник, периметр которого куда больше желаемой нам единицы. В любом случае "огрызок Хаусдорфа" будет большим. Насколько большим - сказать трудно, я предполагаю, что строгий огрызок Хаусдорфа в данном случае ровно вдвое больше нестрогого огрызка (что соответствует покрытию окружности двумя большими кругами и двумя маленькими)

[versta]

Идея понятна, спасибо. Будем думать.