Расстановка пределов в тройном интеграле

[Black_Queen152]

По матану (с которым у меня хронические проблемы :)) дали домашку, которую нужно будет сдать в пятницу. Среди прочих, есть вот такая задача.
Нужно расставить пределы интегрирования в тройном интеграле для подсчета объема тела тремя способами + выписать тройной интеграл для подсчета объема в полярных координатах.
Считать сам интеграл не нужно.
Система неравенств, которыми задается тело:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x^2+y^2+z^2 \leqslant a^2 \\ z \geqslant -a\sqrt{3}/2 \\ \end{array} \right. $$

(здесь $a > 0$)

Я выписала соответствующие интегралы, используя функцию $max$ , например:

$$\int\limits_{-a}^{a} dx \int\limits_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} dy \int\limits_{-\sqrt{a^2-max((x^2+y^2),a^2/4)}}^{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} dz$$

Дело в том, что, поскольку в этом интеграле я сначала расставляю пределы интегрирования для $z$, получается, что $z$:
- в верхнем полупространстве ограничен сверху величиной $\sqrt{a^2-x^2-y^2}$
- в нижнем - ограничен снизу величинами:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} -\sqrt{a^2-x^2-y^2}, &\text{если}& x^2+y^2 \geqslant a^2/4; \\ -a\sqrt{3}/2 &\text{ иначе.} \\ \end{array} \right. $$

Однако, препод сказал, что если я в реальной жизни захочу считать такой интеграл, то, скорее всего, не буду пользоваться максимумами, потому что это очень неудобно, и сказал переделать.
Но я не знаю, как можно обойтись без максимума в данном случае? Подскажите, пожалуйста

[Алексей К.]

Ну так просто должна быть сумма двух интегралов, сумма двух (под)тел.
В одном нижний предел --- та плоскость, в другом остаток.

-- 15 май 2012, 14:29:59 --

Два тела разграничены цилиндрической поверхностью радиуса $\frac{a}2$.

[Black_Queen152]

Я думала на этот счет... больше же никак не получится? Либо максимумом, либо >1 интеграла написать?

[Алексей К.]

Black_Queen152 в сообщении #571174 писал(а):

Однако, препод сказал, ... что это очень неудобно

Не вижу другого способа (ну, именно при таком порядке интегрирования). Два интегральчика записать. Ерунда какая, при Ваших-то умениях: так здорово во всём сами разобрались.
И препод, наверное, это имел в виду. Скоро узнаем?

[Nacuott]

Black_Queen152, что вы мудрите? От объема шара отнимите объем шарового сегмента, который и подсчитайте через тройной интеграл.
Пределы интегрирования получаются "хорошие".

[Black_Queen152]

Nacuott в сообщении #571509 писал(а):

Black_Queen152, что вы мудрите? От объема шара отнимите объем шарового сегмента, который и подсчитайте через тройной интеграл.
Пределы интегрирования получаются "хорошие".

Так я уже делала, преподу почему-то не понравилось.

[Taus]

(Оффтоп)

Black_Queen152 в сообщении #571520 писал(а):

Так я уже делала, преподу почему-то не понравилось.

Принципиальный препод какой

[Nacuott]

Так представьте в виде двух тел - шаровой слой и полшара.