Разделение областей на графике

[rollthedice]

Здравствуйте!

Передо мной стоит следующая задача. Для начала в идеализированном виде: у меня есть какие-то экспериментальные данные, и я строю по ним график. Предположим, что он принимает такой вид:

Зрительно можно разделить изображение на три части, которые как бы задаются разными аппроксимирующими функциями: константа, что-то, немного похожее на гиперболу, и еще одна линейная функция, но с отличным от нуля угловым коэффициентом. Можно ли выполнить это разделение на компьютере? В реальности же еще задача усложняется тем, что данные очень зашумленные, и, например, после сглаживания у меня не будет таких резких «переломов» графика, которые могли бы помочь в распознавании таких участков на идеализированном примере.

Заранее спасибо за любую помощь.

[JMH]

Можно, с определённым шагом, численно посчитать первую и вторую производные; вторая даст выпуклость/вогнутость и точки перегиба, а первая, соответственно, скорость изменения функции. Можно поэкспериментировать с пороговыми значениями и, более или менее аккуратно разбить весь график на области, в которых функция ведёт себя существенно отлично, чем в соседних областях. Вероятнее всего Вы получите больше областей, чем можно было бы при визульной оценке, но тут я не знаю, что делать.

[Maslov]

Еще можно попробовать порешать задачу кусочной аппроксимации Вашей экспериментальной зависимости с помощью метода наименьших квадратов, но в качестве определяемых параметров брать не только параметры самих аппроксимирующих функций, но и абсциссы точек сопряжения отдельных "кусочков".

В приведенном примере можно взять аппроксимирующую зависимость следующего вида:

$$f(x) = \left \begin{cases} c_1& x < x_1\\ c_2 + \dfrac {c_3} x& x_1 \le x < x_2\\ c_4 + c_5 x & x_2 \le x \\ \end{cases} \right $$

и подбирать параметры $\{c_1, c_2, c_3, c_4, c_5, x_1, x_2, x_3\}$

На самом деле, количество параметров будет меньше, т. к. накладывается еще условие непрерывности аппроксимирующей функции в точках стыков $x_1$ и $x_2$.

rollthedice в сообщении #571100 писал(а):

после сглаживания у меня не будет таких резких «переломов» графика

Предварительного сглаживания можно не выполнять: МНК сам сгладит :)

Можно даже в экселе это попробовать сделать.