Теория вероятности.

[Firth]

При составлении статистического отчета надо было сложить $10^4$ чисел, каждое из которых округлено с точностью до $10^{-4}$. Предполагая, что ошибки округления чисел взаимно-независимы и равномерно распределены на $(-\frac{1}{2} . 10^{-4},\frac{1}{2} . 10^{-4})$ найти пределы в которых с вероятностью большей $0.997$, будет лежать суммарная ошибка.

$(-\frac{1}{2}.10^{-4},\frac{1}{2}.10^{-4})$ - что это? Этот интервал значит $(-0.5\cdot 10^{-4}, 0.5\cdot 10^{-4})$ ?

Итак у нас есть $10^4$ независимых случайных величин и есть закон распределения этих случайных величин. Если я найду матожидание суммы всех этих величин то некоторая окрестность матожидания будет ответом на вопрос? Если так то возьму и применю неравенство Чебышева.

[sheekanov]

Мне кажется, можно найти, как распределена сумма равномерно распределенных с.в.
Причем тут, наверное, можно воспользоваться Центральной предельной теоремой.

[Firth]

sheekanov в сообщении #570807 писал(а):

Центральной предельной теоремой.

как выяснилось их много, в теоретическом курсе мы такие не затрагивали, я понимаю, что никому не интересно учить меня азам.
$f_{Z_n}(x) \to \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{x^2}{2}}$ при $n \to \infty,$
это она?

А что насчет моих соображений? Матожидание получится равно нулю, тогда применяем неравенство Чебышева:

$$P(|X|<a)>1-\frac{1}{12\cdot a}$$

Так вроде все нормально пока действуем дальше

$$1-\frac{1}{12\cdot a^2}=0.997$$

ну тогда отсюда найдем

$$a^2=27.77...$$

$$a=5.27$$

Правдоподобно? Сомневаюсь. Интервал не должен быть больше 0.5 где же ошибка?

[--mS--]

1) Одна двенадцатая - это что? Дисперсия даже у одной случайной величины иная, а уж у $X$ и подавно.
2) Кто такой $X$, для которого Вы ищете пределы по неравенству Чебышёва? Он как-то связан с исходными случайными величинами?
3) Ничего удивительного даже и в таком ответе (хотя с правильной дисперсией будет получше) - неравенство Чебышёва грубое, для отыскания точных вероятностей попадания в интервал вокруг матожидания малопригодно. Но разобраться с ним всё равно необходимо.

(про ЦПТ)

То, что Вы привели, это локальная предельная теорема, она Вам ни к чему. Вот ЦПТ в простейшей формулировке:
Пусть $X_1, X_2,\ldots $ - последовательность независимых и одинаково распределённых случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим $a=\mathsf EX_1$, $\sigma^2=\mathsf DX_1$. Тогда при любых $x<y$ имеет место сходимость при $n\to\infty$

$$\mathsf P\left(x < \dfrac{X_1+\ldots+X_n-n a}{\sigma\sqrt{n}} < y\right) \to \Phi_{0,1}(y)-\Phi_{0,1}(x), $$

где $\Phi_{0,1}(x)=\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}\,dt$ - функция распределения стандартного нормального закона.

Иначе говоря, при больших $n$ вероятность сумме случайных величин из теоремы лежать в границах $(u, v)$ можно заменить приближённым выражением через функцию распределения нормального закона:

$$\mathsf P(u < X_1+\ldots+ X_m < v) \approx \Phi_{0,1}\left(\frac{v-na}{\sigma\sqrt{n}}\right) - \Phi_{0,1}\left(\frac{u-na}{\sigma\sqrt{n}}\right).$$

[мат-ламер]

Firth в сообщении #570711 писал(а):

найти пределы в которых с вероятностью большей 0.997 , будет лежать суммарная ошибка.

Про какую ошибку идёт речь? Если речь идёт о сумме в отчёте, то говоря простым языком, о том что было сказано, можно считать, что эта сумма распределена по нормальному закону. А матожидание и дисперсию этой суммы можно определить непосредственно (исходя из их свойств).

[sheekanov]

Посмотрите в Википедии формулировку неравенства Чебышева. И обратите внимание на:
1) Нестрогость неравенств
2) $a^2$
3) В неравенство входит дисперсия какой-то случайной величины. Что это за случайная величина в Вашем случае, и чему равна ее дисперсия?

По сути: ваше решения, видимо, подходит (если уж вам не рассказывали про ЦПТ). На это намекает и условие задачи: "найти пределы в которых с вероятностью большей 0,997 ".

[Firth]

Пусть х - это случайная величина одной ошибки.
Тогда X - это общая ошибка.

Я полагал что дисперсия одной ошибки:
$=\frac{b-a}{12}$ где $a=-0.5\cdot 10^{-4} b=0.5\cdot 10^{-4}$
$D(x)=\frac{1\cdot 10^{-4}}{12}$
по свойству дисперсий независимых величин:
$D(X)=\frac{10^4\cdot 10^{-4}}{12}$

Тогда применяем неравенство Чебышева
$P\left(|X-m|\geqslant a\right) \leqslant \frac{D(X)}{a^2}$

А если вычесть из единицы то получится то неравенство которое нужно нам для решения задачи.

$P\left(|X-m|\leqslant a\right) \geqslant 1-\frac{D(X)}{a^2}$

Тогда вот как мы поступи приравняем правую часть к данной нам вероятности
$1-\frac{D(X)}{a^2}=0.997 \Rightarrow a=5.27$

Я так понял, что облажался с Дисперсией, но сам я ее не считал, просто взял готовую из того расчета что распределение - равномерное. Значит ошибка в сумме дисперсий? И так просто их складывать нельзя? Или дисперсия должна быть не равномерной величины, а нормальной и следует подумать как построить это нормальное распределение?

[sheekanov]

Все намного проще
Дисперсия равномерного распределения равна $(b-a)^2/12$. Вы квадрат забыли.

[Firth]

sheekanov в сообщении #571373 писал(а):

Все намного проще

И то верно, я его забыл тогда все становится ясно. $D(X)=\frac{10^4\cdot 10^{-8}}{12}$
тогда

$1-\frac{10^{-4}}{12\cdot a^2}=0.997$
$a=0.05$

Спасибо большое теперь все понятно