Иррациональные уравнения, не имеющие корней

[dron1987]

Всем доброго времени суток! Суть вопроса : в учебниках курса алгебры существует утверждение "В иррациональных уравнениях все радикалы понимаются в смысле арифметического значения. Поэтому, если показатель корня — четное число, то подкоренное выражение и значение корня должны быть неотрицательными. Отсюда ясно, например, что иррациональное уравнение $\sqrt{(x+2)}=-3$ не имеет решений— его левая часть неотрицательна при всех допустимых значениях х. " Получается, арифметическое значение - значение корня всегда положительно и уравнения вида $\sqrt{x}=-3$ не имеют корней. Есть ли какое-нибудь доказательство этому, опущенное, не приведенное в учебнике? И почему нельзя возводить обе части такого уравнения в квадрат? Тогда получится справедливое утверждение, что x=9, ведь
$(\sqrt{x})^2={(-3)}^2$ ? Но это считается ошибкой. Хотя ведь иррациональные уравнения таким образом и сводят к рациональным с "лишними" корнями. На одном портале смотрел видео-уроки алгебры и там преподаватель заметил, что возводить в квадрат мы можем только в том случае, если у нас положительны обе части. Но в иррациональных уравнениях мы возводим в квадрат, не зная, имеют ли части одинаковый знак. Почему в таком случае, так утверждалось, что возводить нужно положительные части, а не с разными знаками? Не могу найти нигде четкого определения вот этих моментов, после этого видео-урока пересмотрел несколько учебников школьной алгебры разных авторов и разных лет. Помогите, пожалуйста. Заранее спасибо!

[AlexValk]

Возьмем верное равенство с положительной правой и левой частью $3=3$. Возведя в квадрат его получим верное равенство $3=3$.
Теперь возьмем неверное равенство с положительными членами $2=3$, и возведя в квадрат получим неверное равенство $4=9$.
Вроде "все логично" - из верного получаем верное, а из неверного - неверное.
То же самое верно, если обе части отрицательны (этот случай легко переходит в ситуацию с положительными членами, если левую и правую часть умножить на $-1$).

А теперь проеделаем все это на двух примерах с одной положительной, а другой отрицательной частью (которые, конечно, заведомо неверные).
Из неверного $2=-3$ получаем неверное $4=9$.
Из неверного $3=-3$ получаем верное (!) $9=9$.

Вывод - когда возводится в квадрат левая и правая части некоторого уравнения, про знаки которых мы ничего не знаем, то нет никакой гарантии, что мы не получим последнюю ситуацию: верное равество, которое на самом деле соответсвует в исходном уравнении неверному равенству! Такая ситуация называется "лишние корни". Гарантия отсутствия "лишних корней" есть, если только обе части исходного уравнения имеют один знак (для простоты обычно говорят - положительный, потому что так удобно не только для уравнений, но и для неравенств).

Поэтому для решения иррациональных уравнений есть два стандартных подхода, которые, по простому говоря, такие:
1. Возводим в квадрат "не напрягаясь" (т.е. не анализируя знаки правых и левых частей, ОДЗ и т.п.). Но потом делаем проверку и лишние корни отбрасываем. Этот способ обычно быстрее второго, а неудобен, если полученные корни "некрасивые".
2. Возводим в квадрат, сопровождая эти действия анализом ОДЗ, знаков левых и правых частей, получая дополнительные условия на корни в виде неравенств. Полученные корни проверяем на эти условия и оставляем лишь те которые в них подходят. Этот способ обычно труднее, т.к. требует аккуратной работы с неравенствами.

[dron1987]

AlexValk
Большое спасибо за развернутый ответ! Но остается все же неясным момент с корнями уравнений вида $\sqrt{(x+2)}=-3$ , $\sqrt{x}=-3$ Почему же они не имеют корней, как это обосновать? Вот в это уравнение $\sqrt{x}=-3$ Если x= 9, получается, что в правой части может быть как 3, так и -3? Почему же получается , что корнем тут не может являться никакое число, как утверждается? И это вытекает все из утверждения насчет арифметического корня: "... подкоренное выражение и значение корня должны быть неотрицательными." как это обосновывается .Почему же тогда в решениях уравнений может быть вида x=± 5 и т.д. Т.е. модуль.

[ИСН]

Потому что "В иррациональных уравнениях все радикалы понимаются в смысле арифметического значения". Старшина сказал. Это не вопрос доказательства, это вопрос соглашения.

[dron1987]

ИСН в сообщении #570492 писал(а):

Потому что "В иррациональных уравнениях все радикалы понимаются в смысле арифметического значения". Старшина сказал. Это не вопрос доказательства, это вопрос соглашения.

И этому вопросу нигде нет никакого обоснования

[ИСН]

Какого обоснования Вы хотите? В Англии люди ездят по левой стороне. В Америке температуру меряют по шкале Фаренгейта. Как это обосновать?

[Keter]

dron1987
Что здесь Вы хотите обосновать? Вы же знаете, что корень квадратный мы извлекаем только из положительного числа или нуля. То есть $\sqrt{a}$ мы можем посчитать только если $a \geqslant 0$. Ну а это значит, что квадратный корень, если он извлекается, то всегда положительный или 0. Тогда уравнение вида "корень из числа равно отрицательное число или $\sqrt{a}=-3$" не имеет смысла вообще.

[AlexValk]

Keter в сообщении #570536 писал(а):

Вы же знаете, что корень квадратный мы извлекаем только из положительного числа или нуля. ..... То есть $\sqrt{a}$ мы можем посчитать только если $a \geqslant 0$. Ну а это значит, что квадратный корень, если он извлекается, то всегда положительный или 0.

Вы путаете область определения функции и область ее значений. Ни откуда не следует, что если область определения какой-то функции - неотрицательные (или положительные) числа, то и область значений - тоже. Пример: $y=\ln x$.

dron1987
Вопрос о том, что $\sqrt{4}=2$, а не $-2$, или не $\pm 2$, как Вам уже сказал ИСН - это вопрос соглашения, называемого термином "арифметический корень". Поэтому, если Вам очень хочеться, ссылаясь на равенство $(-2)^2=4$ называть $-2$ тоже корнем из 4, то "это можно", но с приставкой "неарифметический". Правда таких неарифметических квадратных корней в школьной программе не существует ("министр запретил") и вас мало кто будет понимать. Ниже я приведу один аргумент разумности такого школьного подхода.

ИСН в сообщении #570519 писал(а):

Какого обоснования Вы хотите? В Англии люди ездят по левой стороне. В Америке температуру меряют по шкале Фаренгейта. Как это обосновать?

А я все же попробую привести некоторое обоснование, которое я когда-то услышал от своего школьного учителя.
Давайте пойдем на поводу у dron1987 и определим $\sqrt{A}$, как "число, квадрат которого равен A". Т.е. включим все варианты в определение корня, $\sqrt{4}=\pm 2=\left\{-2;2\right\}$.
Чему тогда будет равна сумма $\sqrt{4}+\sqrt{4}$? Логично и здесь перебирать все варианты (коих 4 штуки), что дает $\sqrt{4}+\sqrt{4}=\left\{-2;0;2\right\}$. В тоже время, $2\sqrt{4}=\left\{-4;4\right\}$. В итоге мы прибыли к $2\sqrt{4}\not=\sqrt{4}+\sqrt{4}$.
Вывод: Либо мы примем $\sqrt{4}=\pm 2$, но взамен нам придется отказаться от таких "вкусностей" как безоговорочное свойство $a+a=2a$ и т.п., т.е это будет какая-то совсем другая математика. Либо мы отказываемся от многозначности $\sqrt{4}=\pm 2$, и принимаем $\sqrt{4}=2$, сохраняя привычные нам свойства типа $a+a=2a$. В школьной программе пошли по второму пути, что выглядит достаточно разумно.

Заключительные замечания:
1. С этой точки зрения в школьной программе могли декларировать "левостроннее движение" в виде определения $\sqrt{4}=- 2$. Никаких особых проблем бы не возникло, кроме некоторой непривычности для нас, воспитанных на "правостороннем" (зато было бы оригинально!). (Что в этом пункте подверждает тезис ИСН "Это не вопрос доказательства, это вопрос соглашения." )
2. Без всяких произвольных соглашений проблема корня полностью решается только на более высоком уровне - в теории функций комплексных переменных при введении понятия многозначных функций и римановых поверхностей.
3. В школьной программе много лет есть и более сильные "соглашения", которые приводят уже не просто к вопросам, а к несуразностям. Например школьное ОДЗ показательной функции $y=a^x$, подразумевает $a>0$, $x\in \mathbb{R}$ и даже добавляют $a\not=1$ (для монотонности). Тогда уравнение $x^{1-x}=x^2$ с одной стороны (по ОДЗ) не имеет решений, а с другой стороны каждый может проверить, что в него "как числа" подходят кроме $x=1$ также $x=0$ и $x=-1$. (В таких случаях учитель, наверное, говорит: "они как числа подходят, а мы должны решать как функции"!)

[ewert]

Дело попросту в том, что арифметический корень -- это некоторая однозначная функция, раз уж её можно определить как однозначную. В комплексном случае такой возможности нет (нет естественного способа выделить одну из ветвей), и только поэтому и приходится мириться с многозначностью; противно, досадно, но -- приходится.

[Профессор Снэйп]

А нас вот в школе как-то странно учили: выражение $x^{1/3}$ имеет смысл лишь при $x \geqslant 0$, а выражение $\sqrt[3]{x}$ - при произвольном $x \in \mathbb{R}$.

[ewert]

Это здесь уже многократно обсуждалось. В школе при составлении задачек с иррациональностями обычно стараются избегать подобных коллизий -- во избежание недоразумений. Ну а после школы эти нюансы уже никого не интересуют.

[Евгений Машеров]

Это соглашение школьного курса математики. Вызванное тем, что иррациональные уравнения нужны в нём не в связи с их особой практической полезностью, а как средство тренировки ума. Гантель. Которую можно не только подымать, но и бросать. Но не положено. От бросания гантелей развития мускулов не будет, а ушибиться можно. Соответственно, если рассматривать только арифметические значения корней, можно накачать мозговую мышцу и не запутать себя. А если рассматривать корень, как многозначную функцию, надо либо вводить в школьный курс много дополнительного и неиспользуемого в школе материала, либо совершенно запутать школьника.

[dron1987]

Большое спасибо за разъяснения всем! Вроде смирился с соглашением)

[Алексей К.]

Да с чем там мириться?
Договорились число 3.1622776601683793... обозначать как $\sqrt{10}$. Не только короче, но и точно, и с указанием, откуда оно взялось. Число -3.1622776601683793..., если кому-то приспичит, обозначится тогда как $-\sqrt{10}$. Всё просто и естественно.