Теория групп. Неясное док-во нецикличности факторгруппы...

[farewe11]

Добрый день, сейчас читаю книгу "Теория групп" Куроша А.Г., застрял в одном месте. Цитирую (сокращённо):

Цитата:

Фактор-группа некоммутативной группы по её центру не может быть циклической. Действительно, предположим обратное: пусть она будет циклической. $G\diagdown Z_g = \{ Z_g, g_1\cdot Z_g, g_2\cdot Z_g\dots \}$ - состоит она из смежных классов. И один из этих классов будет порождающим элементом этой нашей фактор-группы. Выберем в этом классе элемент $a_0$. Подгруппа, порождённая этим элементом, вместе с элементами из $Z_g$, совпадает со всей группой $G$. Из перестановочности этих элементов следует коммутативность группы $G$, что противоречит условию.

Подчёркнутое предложение - вообще непонятно. Подгруппа, порождённая элементом $a_0$ - ну почему она, "вместе с элементами из $Z_g$", совпадает со всей группой? Элемент $a_0$ -это же всего лишь элемент вида $a\cdot b (=b\cdot a); a,b \in G$.
Подгруппа, порождаемая им - не более, чем $\{ a^x \cdot b | x=1,2,3... \}$.

[Joker_vD]

Пусть $G/Z_g$ циклическая, тогда есть $a_0Z_g$, ее порождающий, т.е. для любого $x\in G$ есть такое $n$, что $xZ_g=(a_0Z_g)^n=a_0^nZ_g$ или, в терминах элементов, $x=a_0^nz$, $z\in Z_g$. Что и выражают словами "$a_0$ вместе с элементами $Z_g$ порождает всю группу $G$".

[tavrik]

...Элемент $a_0$ -это же всего лишь элемент вида... "

по моему, про $a_0$ можно сказать точнее : это элемент $\in g_kZ_g$...и его степень - вида $g^nz, z\in Z_g$

[farewe11]

Спасибо, теперь ясно. А вывод о перестановочности этих пар $a_0^n z$ делается из того, что $z$ принадлежит центру группы. Закрыт вопрос, пожалуй.

-- Вс май 13, 2012 17:49:27 --

tavrik в сообщении #570356 писал(а):

...Элемент $a_0$ -это же всего лишь элемент вида... "

по моему, про $a_0$ можно сказать точнее : это элемент $\in g_kZ_g$...и его степень - вида $g^nz, z\in Z_g$

да, точно. Эт более наглядно. :)