Вариация функционала

[Mitrandir]

Здравствуйте,
помогите разобраться с вариацией (самое банальное как найти $\delta E$)
Приведите конкретный пример, или где их можно посмотреть... во всех книгах толкают теорию из которой мне совсем не ясно как это на практике делать
например $E[\varphi(r)] = \int((\varphi-Z/r)\nabla^2\varphi)dV$, чему равно $\delta E$
Мой ответ $\delta E = \int(\delta\varphi\nabla^2\varphi)dV$

[Ilia_]

Mitrandir в сообщении #567093 писал(а):

Здравствуйте,
помогите разобраться с вариацией (самое банальное как найти $\delta E$)
Приведите конкретный пример, или где их можно посмотреть... во всех книгах толкают теорию из которой мне совсем не ясно как это на практике делать
например $E[\varphi(r)] = \int((\varphi-Z/r)\nabla^2\varphi)dV$, чему равно $\delta E$
Мой ответ $\delta E = \int(\delta\varphi\nabla^2\varphi)dV$

На практике с вариацией можно обращаться как с некоторым обобщением производной. При этом надо варьировать всё, что варьируется. Так, в приведённом вами примере, приращение может испытывать функция $\varphi$, а, следовательно, и её градиент. Если варьироваться может $Z$, то вариацию надо навесить и на неё. Но я подозреваю, что $Z$, как и область интегрирования - постоянные. Поэтому:

$$\delta E = \int dV \left(\delta\varphi\nabla^2\varphi + (\varphi-Z/r)\delta[ \nabla^2\varphi ]\right)= \int dV \left(\delta\varphi\nabla^2\varphi + (\varphi-Z/r)\nabla^2\delta\varphi \right)$$

Вариацию и наблу можно переставлять местами. Поскольку пример явно из физики, предположу, что на границе объёма вариация $\delta\varphi=0$ и $\nabla\delta\varphi=0$ (если объём бесконечен, то это - стандартное предположение), и возьму второй кусок по частям дважды.

$$\delta E=\int dV \delta\varphi\left(\nabla^2\varphi +\nabla^2(\varphi-Z/r)\right)=\int dV \delta\varphi \left(2\nabla^2\varphi -4\pi\delta(\vec r)\right)$$

В последнем равенстве $\delta(\vec r)$ - дельта-функция. Если нигде не соврал, то так получается.

[Munin]

А потом я вляпываюсь в обозначение $\pi(x)=-i\delta/\delta\phi(x)$ (канонические импульсы для гамильтониана скалярного поля), и полдня думаю, что оно означает...

[alien308]

Цитата:

и полдня думаю, что оно означает

Сильно, всего лишь полдня! И что же оно означает?

[Munin]

В обычной квантовой механике мы имеем оператор импульса $\hat{p}=-i\tfrac{\partial}{\partial x}.$ Если у нас несколько степеней свободы, то частная производная превращается в градиент, а оператор импульса становится, соответственно, вектором: $\hat{p}_i=-i\tfrac{\partial}{\partial x^i}.$ А здесь мы имеем теорию поля в гамильтоновом формализме, и её степени свободы - значения поля в каждой точке $\phi(x),$ и их бесконечное число. Поэтому соответствующий оператор канонического импульса будет аналогом градиента для вариационного исчисления - вариационной производной, $\hat{\pi}(x)=-i\tfrac{\delta}{\delta\phi(x)}.$ Что это за аналог - можно понять на классическом случае, где $\pi(x)[\phi(x)]=\tfrac{\delta L[\phi(x)]}{\delta\phi(x)}=\tfrac{\delta\int\mathcal{L}(\phi(x),\partial_x\phi(x))dx}{\delta\phi(x)}.$ Как-то так... но укладывается это в голове с трудом. Особенно в первый раз.