Вопрос по частным производным второго порядка

[Ktina]

Почему, когда я сначала беру производную по $x$, а затем - по $y$, результат такой же, как если бы я брала сперва по $y$, а потом - по $x$? Это случайность или оно всегда так?

[AV_77]

Почти всегда. Или, точнее, почти во всех практически интересных случаях :)

[Ktina]

AV_77 в сообщении #569204 писал(а):

Почти всегда. Или, точнее, почти во всех практически интересных случаях :)

А когда бывают исключения?

[AV_77]

Исключения бывают если эти самые смешанные производные имеют разрывы. Если интересно, то возьмите любой учебник по мат. анализу и почитайте про смешанные производные.

[Ktina]

AV_77 в сообщении #569209 писал(а):

Исключения бывают если эти самые смешанные производные имеют разрывы. Если интересно, то возьмите любой учебник по мат. анализу и почитайте про смешанные производные.

-- 09.05.2012, 22:06 --

Прошу прощения за занудство, а порекомендовать учебник можете? А то в Сети их - туча!

[AlexValk]

Посмотрите, например, в Википедии http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%81%D0%BC%D0%B5%D1%88%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85

А по книгам - ну, скажем, Фихтенгольц Том 1, глава 5.

[Ktina]

AlexValk в сообщении #569216 писал(а):

А по книгам - ну, скажем, Фихтенгольц Том 1, глава 5.

Там про функцию от одной переменной.

[gris]

Ktina, так как Вы большая любительница контрпримеров и разных противоречий, то Вам больше подойдёт книжка Гелбаума "Контрпримеры в анализе". Там наверняка есть соответствующий пример для функции двух переменных.

[Ktina]

gris в сообщении #569394 писал(а):

Ktina, так как Вы большая любительница контрпримеров и разных противоречий, то Вам больше подойдёт книжка Гелбаума "Контрпримеры в анализе". Там наверняка есть соответствующий пример для функции двух переменных.

Уже нашла: http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/4/book.htm
Спасибо!

[Munin]

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. 1. - М., 2003. - С. 378.
Глава 5 вся так целиком и называется "Функции нескольких переменных". Интересующий вас факт обозначен как "Теорема о смешанных производных", и рассмотрен в п. 160 на с. 452.
Книгу можно скачать тут: http://lib.dyndns.tv/

[svv]

Ktina, Вы обращали внимание на то, что у этого загадочного явления имеется легко понимаемый дискретный аналог? Рассмотрите функцию, заданную на целочисленной двумерной сетке. Найдите соответствующие разности -- аналоги производных -- в одном и другом порядке. Сравните.

$$(a_{i+1,k+1}-a_{i+1,k})-(a_{i,k+1}-a_{i,k})=(a_{i+1,k+1}-a_{i,k+1})-(a_{i+1,k}-a_{i,k})$$

[AKM]

Ktina,

прошу обратить внимание на наши правила, в частности п. I-1-н о злоупотреблении средствами форматирования.
Ваше выпендрёжное "спасибо" (несколькими постами выше) удалено.