Есть некоторое равенство

[larkova_alina]

Есть некоторое равенство:
$\frac{\sin ^3 \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}= 2\frac{\sin^3 \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}.$
Что можно сказать о $\alpha$ и $\beta$?

[Хорхе]

Можно без этих пополамов?

[larkova_alina]

Хорхе в сообщении #568378 писал(а):

Можно без этих пополамов?

Можно конечно.
Просто я решала одну задачку и я пришла к именно такой формуле. И тут я забуксовала.

[Хорхе]

Ну как-то они нетривиально связаны. А что от них требуется? Какие-то оценки одного через другое?

[ewert]

Ну там получится кубическое уравнение для тангенсов, про которое можно сказать лишь сказать, что его решение всегда существует и единственно. Впрочем, можно попробовать явно выписать его решение в тригонометрической форме -- глядишь, тригонометрия и сократится; не знаю.

[larkova_alina]

Задачка целиком.
Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины в общей точке, находятся в равновесии. Заряженные шарики перенесли из воздуха в жидкость, диэлектрическая проницаемость которой равна 3, а плотность в 3 раза меньше плотности материала шариков. Как изменится угол между нитями?

Будем считать, что шарики одинаковые и они имеют одинаковые заряды.
В начале.
Пусть $\alpha$ - угол между нитями.
$\overrightarrow{F}+\overrightarrow{N}+m\overrightarrow{g}=0,$
где $\overrightarrow{F}$ - сила взаимодействия зарядов, а $\overrightarrow{N}$ - сила с со стороны нити на шарик.
$F=k\frac{q^2}{r^2}=k\frac{q^2}{4 l^2\sin^2 \frac{\alpha}{2}};$
$0x:\;\;\;\; -F+N\sin\frac{\alpha}{2}=0,$
$0y:\;\;\;\; N\cos\frac{\alpha}{2}-mg=0.$
Выражая из одного уравнения $N$ и подставляя его в другое получаем: $\frac{F}{mg}=\tg \frac{\alpha}{2} \Rightarrow \frac{kq^2}{4mgl^2}=\tg\frac{\alpha}{2}\sin^2\frac{\alpha}{2}.$

После того, как шарик погрузили в жидкость.
$\overrightarrow{F'}+\overrightarrow{F_a}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N'}=0,$
$F_a$- сила Архимеда.
$F' = k\frac{q^2}{3r'^2}=k\frac{q^2}{3\cdot 4 l^2 \sin^2 \frac{\beta}{2}}.$
$F_a=V_\text{ш}\rho _\text{ж}g,$
$mg=V_\text{ш}\rho _\text{ш}g=3V_\text{ш}\rho _\text{ж}g=3F_a,$
$F_a=\frac{mg}{3}.$
$0x:\;\;\;\; -F'+N'\sin\frac{\beta}{2}=0$
$0y:\;\;\;\; F_a+N'\cos\frac{\beta}{2}-mg=0 \Rightarrow N'\cos\frac{\beta}{2}-\frac{2}{3}mg=0.$
Выражая из одного уравнения $N'$ и подставляя его в другое получаем: $\frac{3}{2}\frac{F'}{mg}=\tg\frac{\beta}{2} \Rightarrow \frac{kq^2}{4mgl^2}=2\tg\frac{\beta}{2}\sin^2\frac{\beta}{2}.$

Приравниваем правые части, получившихся уравнений и получаем:
$\frac{\sin^3\frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}=2\frac{\sin^3\frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}.$
Что делать дальше не знаю.

[Хорхе]

Я выводы не смотрел, но если они правильны, то самое разумное, как мне кажется, - в таком виде и оставить. Можно, конечно, решить кубическое уравнение и написать "окончательный ответ", но вряд ли это будет лучше.

(Задача, как по мне, не вполне корректная, так как если угол был 180 градусов, то ответ далеко не однозначный.)

[ewert]

Хорхе в сообщении #568433 писал(а):

если угол был 180 градусов

Как бы это могло быть?

[Хорхе]

Да, такого не может быть, это у меня с физикой плохо.

[ewert]

Ну, выкладки вроде правильны, только вместо двадцати строчек лучше было бы изложить их примерно так на пяти. И уравнение это вряд ли решается элементарно, и практически наверняка явное его решение не требовалось: в физических задачах такого типа занудная математика обычно не предполагается. Особенно если учесть формулировку вопроса: "Как изменится угол между нитями?"

Скорее всего, ожидался ответ качественного характера: увеличится угол или уменьшится. И этот ответ никакого счёта не требует. Угол не изменился бы, если бы сила отталкивания и сила тяжести изменились бы (в том же положении) в одинаковое количество раз. Однако у нас сила отталкивания уменьшается в три раза, вес же -- лишь немножко, т.к. выталкивающая сила в три раза меньше исходного веса. Естественно, что угол уменьшится.

[larkova_alina]

ewert, а можно так рассуждать?
Рассмотрим функцию $f(x)=\frac{\sin^3\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}.$
Тогда исходное уравнение запишется в виде: $\;\;f(\alpha)=2f(\beta).$
$f(x)$ положительна и строго возрастает на интервале $(0; \pi)$.
А так как $f(\beta)<f(\alpha)$, то $\beta<\alpha.$
То есть угол уменьшится.

[bot]

Физики в таких случаях обычно довольствуются эквивалентностями $\sin x \approx x, \cos x \approx 1$, ибо рассматривают малые отклонения $x$.

[larkova_alina]

bot в сообщении #568685 писал(а):

Физики в таких случаях обычно довольствуются эквивалентностями $\sin x \approx x, \cos x \approx 1$, ибо рассматривают малые отклонения $x$.

А где тут малые отклонения? Разность $\alpha-\beta$ может быть существенной.

[ewert]

larkova_alina в сообщении #568681 писал(а):

ewert, а можно так рассуждать?

Можно, конечно, но не нужно. Лишняя работа. Тем более что речь о физических задачах, в которых излишняя математическая строгость иной раз даже и неуместна.

[larkova_alina]

(Оффтоп)

ewert, может это плохо, но я просто не перевариваю математическую нестрогость. У меня от этого возникает дискомфорт.