Задача о гравировке

[ScaN]

Всем доброго времени суток. Я расскажу об интересной задаче, с которой недавно столкнулся, и с вариантами которой вы сами наверняка сталкивались, когда ели йогурт ложкой или рисовали полупрозрачной кистью в фотошопе или на стене вконтакте. Буду весьма признателен, если вы подскажете связанные проблемы или результаты, которые могут быть полезны.

Гравировка - это когда с поверхности удаляют часть материала, чтобы создать нужную форму. В промышленности, это может делаться гидроабразивной струей, лазером или другими способами. В первом приближении будем считать, что материал равномерно удаляется с поверхности в некотором круге ($R=1$) - зоне действия луча или струи, который перемещается, оставляя за собой след - борозду. Если луч перемещать по поверхности быстро, то он делает неглубокую борозду, если медленно - получается глубокий канал, если его остановить на месте - то луч будет сверлить отверстие единичного радиуса.

Тогда в самом простом случае имеем:
$\frac{\partial z}{\partial t}(\mathbf X) = - \sqcap(\| \mathbf X - \bar{\mathbf X}(t) \|)$
Здесь $\mathbf X$ - точка на плоскости $(x,y)$, $z(\mathbf X)=z(x,y)$ - функция, описывающая поверхность, $\sqcap(r)=\begin{cases} 1,&\text{если $0<r<1$;}\\ 0,&\text{иначе} \end{cases}$, $\bar{\mathbf X}(t)$ - центр луча или струи в момент времени $t$.

Давайте зададимся целью снять гравировкой ровный слой вещества. При это логично "облучить" материал равномерно, чтобы в каждом месте снять одинаковое количество вещества. Как это сделать? Например, можно попробовать "просканировать" прямоугольный участок построчно.
Вот, что получится, если "провести лучом" три параллельные линии с постоянной скоростью на расстоянии $2R$ друг от друга:

Если менять расстояние между равноудаленными параллельными линиями, то картинка изменится, но ровной не будет никогда.

Интуиция подсказывает, что перемещая луч с конечной скоростью $\|\frac{d\bar{\mathbf X}(t)}{dt}\|<\infty$, ровный слой материала снять не получится даже локально, и даже если использовать различные паттерны обхода плоскости, такие как кривая Пеано или Архимедова спираль.

Как это доказать?
Какие есть соображения?

P.S. Надеюсь, я понятно объясняюсь, и ни у кого не возникнет вопросов, причем здесь йогурт и рисование

[alexo2]

Как я понял, луч при движении с любой конечной скоростью вырезает "ров" с эллипсовидным сечением. А из любого набора эллипсов создать прямую линию невозможно. Можно только бесконечно к ней приближаться (передвигая луч с относительно высокими скоростями, что приведет к увеличению радиуса эллипсов).
Или даже не так - при перемещении с высокими скоростями радиусы, видимо, не изменятся, а глубина прорезания уменьшится и "влияющий или режущий" радиус будет ближе к прямой. Следовательно, надо перемещать луч как можно быстрее, а линии располагать ближе друг к другу.

[ScaN]

alexo2 в сообщении #567834 писал(а):

Как я понял, луч при движении с любой конечной скоростью вырезает "ров" с эллипсовидным сечением. А из любого набора эллипсов создать прямую линию невозможно. Можно только бесконечно к ней приближаться (передвигая луч с относительно высокими скоростями, что приведет к увеличению радиуса эллипсов).
Или даже не так - при перемещении с высокими скоростями радиусы, видимо, не изменятся, а глубина прорезания уменьшится и "влияющий или режущий" радиус будет ближе к прямой. Следовательно, надо перемещать луч как можно быстрее, а линии располагать ближе друг к другу.

Спасибо за ответ. Абсолютно. Если снимать материал параллельными линиями, то все просто, ровно как Вы расписали. А как показать это для произвольной траектории (стратегии обхода плоскости)?

Мы могли бы рассмотреть какую-нибудь прямую на плоскости и показать, что с нее снимается материал неравномерно.

Если траектория луча пересекает ее под прямым углом с постоянной скоростью, то это эллипсоиды.
Если траектория луча пересекает ее под косым углом с постоянной скоростью, то это тоже скорее всего эллипсоиды
Если траектори луча параллельна, то мы можем выбрать другую прямую
А вот если траектория этого луча - кривая, или скорость - переменная, то наверное могут получиться очень разные сечения, не представляю, как их описать (вообще говоря, они должны описываться интегральным уравнением). И как показать, что сумма этих фигур не даст прямоугольник???

Сдается мне, что существует путь покороче...