Как получить переходную функцию из передаточной функции?

[smartchecker]

Дана передаточная функция. Надо получить переходную.
Как это делается?
$ \frac{1}{p^2+2.5} $

[profrotter]

Чтобы понять как это делается надо взять и ответить на два вопроса:
1. Что называется передаточной функцией?
2. Что называется переходной функцией (переходной характеристикой)?

[smartchecker]

profrotter в сообщении #567746 писал(а):

Чтобы понять как это делается надо взять и ответить на два вопроса:
1. Что называется передаточной функцией?
2. Что называется переходной функцией (переходной характеристикой)?

С передаточной, вроде, всё понятно - это отношение выходящего сигнала к входящему.
А вот с переходной я как-то в прострации. Медитирую на wikipedia, но пока без положительного результата.

[profrotter]

Определение передаточной функции к счастью совсем рядом - в сообщении491103.
Поговаривают, что преподаватели обычно дают список рекомендованной литературы аккурат в самом начале семестра. Думаю надо взять рекомендованный учебник и найти там необходимые определения.

[мат-ламер]

smartchecker в сообщении #567775 писал(а):

А вот с переходной я как-то в прострации. Медитирую на wikipedia, но пока без положительного результата.

Статья в русской Википедии есть. Что там непонятно?

[smartchecker]

Возможно я не в меру глуп, но я не понимаю дальнейший ход мыслей.
Из этого http://edu.nstu.ru/courses/tech/tau/demo/book/Sod24.htm я вычитал буквально вот что:
Чтобы определить переходную характеристику аналитически, следует решить дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях и u(t)=1(t).
Но у меня же есть только передаточная функция.
Что мне с ней делать?

[profrotter]

Сначала Вам следует ответить на два вопроса, поставленных выше и понять что Вы хотите найти. Потом мы увидим как это сделать.

[smartchecker]

profrotter в сообщении #568130 писал(а):

Сначала Вам следует ответить на два вопроса, поставленных выше и понять что Вы хотите найти. Потом мы увидим как это сделать.

На первый вопрос я, вроде, ответил.
Второй - реакция системы на дельта функцию. Не?

[profrotter]

На первый вопрос Вы ответили неправильно, в связи с чем я Вам дал ссылку на сообщение, где есть правильный ответ.

smartchecker в сообщении #568141 писал(а):

Второй - реакция системы на дельта функцию. Не?

Не. Реакция системы на дельта-импульс - это импульсная характеристика. Вам нужна переходная.

[smartchecker]

Т.е., в терминологии matlab'а, реакция на step функцию она же 1(t)? Так?

[profrotter]

Ну вот я пишу определение:

Перходной характеристикой называется реакция линеной системы на единичное ступенчатое воздействие (единичный скачок) при нулевых начальных условиях.

Теперь Вы по образу и подобию пишете определение передаточной функции.

Нулевые начальные условия для устойчивой системы означают, что до воздействия система находилась в состоянии покоя бесконечно долго, то есть запас энергии во всех её энергоёмких элементах отсутствует.

Единичный скачок, единичное ступенчатое воздействие описываются функцией Хевисайда

$$ \sigma(t)=\begin{cases} 1,&\text{если $t>0$}\\ 0,&\text{если $t<0$}\\ \end{cases} $$

Передаточная функция, кстати, задана Вам какая-то нехорошая. У неё полюсы на мнимой оси. Проверьте правильно ли Вы на форум записали выражение.

[Munin]

profrotter в сообщении #567890 писал(а):

Определение передаточной функции к счастью совсем рядом - в сообщении491103.

Никогда не отличал того, что там написано, от

profrotter в сообщении #568153 писал(а):

Не. Реакция системы на дельта-импульс - это импульсная характеристика.

По сути-то одно и то же, ибо сам сигнал свёртывается с импульсной характеристикой, его лаплас-образ умножается на передаточную функцию, а свёртка соответствует умножению образов.

Доктор, что я делаю не так? Зачем нужно два слова для одного понятия?

[spctr]

Munin в сообщении #568276 писал(а):

Доктор, что я делаю не так? Зачем нужно два слова для одного понятия?

Потому что у них разный физический смысл (некий каламбур говорить такие слова физику). Передаточная функция - отношение выхода ко входу в частотной области. Импульсная характеристика - реакция системы на дельта-импульс во временной области. Вот некоторые студенты вообще не видят связи между этими понятиями. Так как обе характеристики часто используются, то у них есть собственные названия. Так же можно сказать - "зачем нужна передаточная функция, если есть дифференциальное уравнение"?

[Munin]

spctr в сообщении #568462 писал(а):

Потому что у них разный физический смысл (некий каламбур говорить такие слова физику). Передаточная функция - отношение выхода ко входу в частотной области. Импульсная характеристика - реакция системы на дельта-импульс во временной области.

Это, вроде бы, один и тот же физический смысл. Ну совсем. В частотной и во временной области у нас одни и те же объекты (входной сигнал, выходной сигнал, преобразование между ними, осуществляемое системой - по сути, оператор), просто рассмотренные с разных точек зрения.

Говорить можно только о том, что мы записываем некоторую штуку либо одной формулой, либо другой формулой, и бывает нужным потрудиться, преобразовывая одну формулу в другую. Но называть нечто единое слева кораблём, а справа лодкой, кажется мне неестественным.

И потом. Ну, допустим, мы развели понятия передаточной функции и импульсной характеристики, сказали, что одно живёт в образах, другое во временной области. А переходная функция где живёт? А если её в другое место перевести, как она там называться будет? Сплошная бессистемность получается.

spctr в сообщении #568462 писал(а):

Вот некоторые студенты вообще не видят связи между этими понятиями.

Это значит, преподаватели им не объяснили.

spctr в сообщении #568462 писал(а):

Так же можно сказать - "зачем нужна передаточная функция, если есть дифференциальное уравнение"?

Ну, передаточная функция - это уже решение дифференциального уравнения. Тут всё понятно.

[profrotter]

Munin в сообщении #568276 писал(а):

По сути-то одно и то же, ибо сам сигнал свёртывается с импульсной характеристикой, его лаплас-образ умножается на передаточную функцию, а свёртка соответствует умножению образов.

При анализе электрических цепей, например, проще получить выражение для передаточной функции (нагляднее для комплексной частотной характеристики), чем для импульсной. Импульсную ищут как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции (либо обратное преобразование Фурье от комплексной частотной).

А есть ещё такая штука, как синтез линейных цепей с заданной характеристикой. Например, в теории управления часто закон управления задаётся именно как реакция на единичный скачок, который рассматривается, грубо говоря, как нежелательное возмущение, которое должно быть устранено при управлении.

Переходная характеристика $g(t)$ штука вообще важная, так как именно через неё даётся реакция линейной системы на прямоугольный импульс (именно он является важнейшей моделью управляющего сигнала, да и импульсного сигнала вообще): $s_{\text{вых}}(t)=g(t)-g(t-\tau_{\text{и}})$, ($\tau_{\text{и}}$ - длительность импульса). А если воздействие таково, что можно выделить интервалы времени, на которых оно имеет постоянный уровень, то оно представляется в виде взвешенной суммы прямоугольных импульсов, соответственно реакция будет представлена в виде взвешенной суммы переходных характеристик. Задача анализа системы в подобных случаях решается устно в противовес возне с интегралом свёртки или преобразованием Лапласа.

А есть ещё, например, такая штука, как синтез цифровых фильтров по аналоговому фильтру-прототипу. Там существенно от какой характеристики мы отталкиваемся.

А есть ещё анализ устойчивости, который наиболее просто осуществить по передаточной функции, убедившись, что все её полюсы находятся в левой полуплоскости. Для анализа по импульсной характеристике потребуется исследовать на сходимость интеграл.

Ну и конечно же эквивалентные преобразования передаточной функции позволяют преобразовывать и структуру системы: её можно представлять в виде последовательно и параллельно соединённых блоков первого и второго порядка, удалять и вводить обратные связи и тп.

Список примеров можно продолжить. А так, конечно же, ничто не мешает нам говорить о "математическом равноправии" частотных, операторных и временных характеристик при описании и анализе линейных систем. Какую из характеристик использовать в каждой конкретной задаче - вопрос простоты, наглядности и удобства.