Группа

[Spandei]

Поскажите пожалуйста
Такая задача:
Доказать, что факторгруппа $SL_2(Z/5Z)$ по ее центру изоморфна группе $A_5$

Что за группа $SL_2(Z/5Z)$? Нигде не могу найти

[Joker_vD]

$\mathrm{SL}_2(\mathbb Z/5\mathbb Z)$ — это мультипликативная группа матриц с единичным определителем над $\mathbb Z/5\mathbb Z$. Называется она "special linear group", специальная линейная группа.

[Spandei]

Подскажите еще пожалуйста с понятием факторгруппы.
К примеру относительно сложения $Z/nZ = \{ x+nZ | x \in Z \}$
Факторгруппа - множество классов смежности, т.е. мы должны сложить каждый элемент с каждым, но если так сделать - получится опять $Z$, а должно - $\{0,1,...,n-1\}$.
Где я неправ?

-- Сб май 05, 2012 03:47:19 --

Все, понял.
$1+nZ и n+1+nZ$ - это один и тот же класс

-- Сб май 05, 2012 04:02:30 --

А вот в своей задаче с построением факторгруппы проблемы.
Непонятно, как найти нормальную подгруппу.
Ясно только, что в ней содержится единичная матрица.

[JMH]

Посмотрите определение нормальной подгруппы, там всё написано. А искать можно, например, коммутативную подгруппу, которая, конечно же, нормальна.

[Spandei]

Подгруппа нижнетреугольных матриц, у которых элементы на диагонали совпадают, нормальна. Таких матриц всего 12. Как классы смежности построить я тоже представляю, перемножить все элементы специальной линейной группы на элементы нашей подгруппы, и оставить только различные.
Такой вопрос: нужно построить факторгруппу, искать её центр и доказывать изоморфность центра, или найти центр специальной линейной группы, и уже на его основе строить факторгруппу и доказывать её изоморфность? Или это я одно и то же получу?:)

[Sonic86]

Богопольский Введение в теорию групп, стр. 30.
Мне думать лень, извините...

(формулы)

русский текст в ТеХе набирается командой \text: $\text{текст}$

[Spandei]

Непонятно:
Пусть V - векторное пространство столбцов высотой 2 над $F_5$ полем вычетов по модулю 5. Тогда каждый ненулевой вектор пропорционален одному из следующих векторов:
$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$
Чему тогда вектор $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ пропорционален?

[Sonic86]

Spandei в сообщении #567705 писал(а):

Чему тогда вектор $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ пропорционален?

$\binom{2}{3}\sim\binom{2\cdot 3}{3\cdot 3}\sim\binom{1}{4}$ (беру по модулю $5$)

[Spandei]

Ой, да, у нас же поле вычетов по модулю 5. Спасибо!
Последний вопрос, непонятный из доказательства:
В группе $ PSL_2(5)$ имеются элементы $\bar{A}$ и $\bar{B}$, являющиеся образами матриц $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Легко проверить, что при подхожящей нумерации прямых $\bar{A}$ действует на них, как подстановка $\{23456\}$, а $\bar{B}$ - как подстановка $\{123\}\{456\}$.
Проверил - умножение вектора на одну из этих матриц и применение к последовательности векторов соответствующей подстановки дает один и тот же результат.
Непонятно - что значит элементы $\bar{A}$ и $\bar{B}$, являющиеся образами матриц? Мы сопоставляем этим элементам матрицы из центра? И почему именно эти 2 матрицы?

[Sonic86]

Spandei в сообщении #567795 писал(а):

Непонятно - что значит элементы $\bar{A}$ и $\bar{B}$, являющиеся образами матриц? Мы сопоставляем этим элементам матрицы из центра? И почему именно эти 2 матрицы?

Матрицы $A,B$ - это элементы $SL_2(\mathbb{Z}_5)$, а элементы $\bar{A},\bar{B}$ - это элементы $PSL_2(\mathbb{Z}_5)\cong SL_2(\mathbb{Z}_5)/\{E,-E\}$ - элементы фактор-группы (т.е. это классы $\{A,-A\}$ и $\{B,-B\}$).
Эти 2 матрицы автор, видимо, выбирал из соображений:
а) они порождали всю группу;
б) попроще.

[Spandei]

Ага, вроде понятно, спасибо.
Еще раз уточню, чтобы точно ясно было:
$\bar{A}$ и $\bar{B}$ - это классы, в которые попадают A и B соотвественно, так?
И, так как и $A$, и $-A$ переводят прямые одинаково, то весь класс $\bar{A}$ действует как $A$.
И вот в самом конце: $\{\bar{A},\bar{B}\} = PSL_2(5) \cong A_5$
Почему подгруппа, состоящая из этих двух классов совпадает со всей $PSL_2(5)$?

[Sonic86]

Spandei в сообщении #568051 писал(а):

$\bar{A}$ и $\bar{B}$ - это классы, в которые попадают A и B соотвественно, так?

Да

Spandei в сообщении #568051 писал(а):

Почему подгруппа, состоящая из этих двух классов совпадает со всей $PSL_2(5)$?

А там же написано: мощности $A_5$ и $PSL_2(\mathbb{Z}_5)$ совпадают, $\bar{A},\bar{B}$ порождают всю $A_5$, значит прообразы порождают всю $PSL_2(\mathbb{Z}_5)$. Доказать, что $\bar{A},\bar{B}$ порождают всю $A_5$ легче хотя бы чисто вычислительно, либо выразить элементы базиса $A_5$ через $\bar{A},\bar{B}$, например.

[Spandei]

Все понятно. Спасибо большое!