Доброго времени суток.
Нужна помощь умных человеков в решении тривиальной задачки.
Есть функция, которая описывает распределение искаженного поля скоростей в потоке внутри круглого трубопровода.
Она имеет след. вид:
![$\begin{array}{{20}{c}} {u = {{\left( {1 - r} \right)}^{\frac{1}{n}}} + m'r{{\left( {1 - r} \right)}^{\frac{1}{k}}} \cdot f\left( \theta \right);}\\ {{\rm{}}\,\,r \le b,\,0 \le b \le 1;} \end{array}\](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/6/cf694e2df0dd20dc83ab9f611ca59fd482.png "$\begin{array}{{20}{c}} {u = {{\left( {1 - r} \right)}^{\frac{1}{n}}} + m'r{{\left( {1 - r} \right)}^{\frac{1}{k}}} \cdot f\left( \theta \right);}\\ {{\rm{}}\,\,r \le b,\,0 \le b \le 1;} \end{array}\")
Параметры n,m',k опереляются характеристиками потока и имеют свои числовые значения, функция влияния Салами имеет вид
![$\[f\left( \theta \right) = \left( {{\theta ^2} - 1} \right){\left( {1 - \cos \left( \theta \right)} \right)^2}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/f/5ffaf4e81910e3e9a210d56d40edbfcb82.png "$\[f\left( \theta \right) = \left( {{\theta ^2} - 1} \right){\left( {1 - \cos \left( \theta \right)} \right)^2}\]$")
Соответственно функция распределения скоростей может быть записана как
![$\[u = u\left( {r,\theta } \right)\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/2/402f5da7ac2303a5bc71f78d1fe7591b82.png "$\[u = u\left( {r,\theta } \right)\]$")
Для соотв. параметров степенного закона она имеет следующий вид(поверхность+линии уровня):
Теперь самое интересное:
1) мне нужно найти среднее значение скорости в плоскости сечения трубопровода, т.е
![$\[\bar u = u\left( {r,\theta } \right)\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/5/81529e70bde85a8270d9fb4c3abe64b482.png "$\[\bar u = u\left( {r,\theta } \right)\]$")
Моя идея - найти обьем фигуры, представленной на рисунке слева, потом разделить его на площадь круга в основании. Я так думаю, что надо найти тройной интеграл(поправьте, если ошибаюсь), а вот с пределами запутался.
2) а вот теперь самое хитрое: надо найти скорость потока, усреднённую по отрезку в плоскости, отстоящей на расстояние
![$\[\xi \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/7/f6798b39cf502d239207e6d5fd9823dc82.png "$\[\xi \]$")
от оси трубопровода и повернутой на угол
![$\[\theta \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/6/ff67765d392ce207d651cdc6c039505382.png "$\[\theta \]$")
. Изюминка ещё и в том, что этот отрезок проходит под углом
![$\[\alpha \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/b/a0b2054e7bad2f2818e3ff801fa7a41882.png "$\[\alpha \]$")
относительно оси трубопровода. Обьясняю картинкой:
Угол
, на который повернута плоскость на рисунке выше и угол
, от которого зависит распределение скоростей - разные углы, просто не успел исправить.
Длину луча условно обозначим l.
Тут опять подозреваю надо интегрировать, а вот что и как... вот тут и кроется моя печаль
Заранее благодарен за любую помощь/идеи.
_____
С. ув. Андрей
18.04.2012, 15:56 
![$\[\bar u = \frac{1}{{\pi {R^2}}}\int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^R {u\left( {r,\theta } \right)rdrd\theta } } \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/d/81deea7dcea7f72b59189a405baec99f82.png "$\[\bar u = \frac{1}{{\pi {R^2}}}\int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^R {u\left( {r,\theta } \right)rdrd\theta } } \]$")