polynomial

[man111]

if $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$

and $f(1) = k\;\;,f(2) = 2k\;\;,f(3) = 4k$

then $f(4)$ in terms of $k$ is

[Arcanine]

Если занулить d, то f(4)=8k.

[g______d]

Явно недостаточно данных. Может быть что угодно.

Может быть, коэффициенты целые?

[Edward_Tur]

$f(4)=4k+6a$

[Shadow]

$f(4)=\dfrac{45a+7b}{6a+b}k \text { при } \frac b a \ne -6$

a, b свободны,

$\\c=5a-b\\ d=6a+2b$

В принципе результат зависит от $\frac b a$

[Shadow]

И с подсказкой Edward_Tur, т.к $k=12a+2b$ получается
$f(4)=7k+6a$
Может ли в конце концов оказатся, что задача вполне корректна....убрать бы это а.

[TR63]

1) a+b+c+d=k
2) 8a+4b+2c+d=2k
3) 27a+9b+3c+d=4k
4) 64a+16b+4c+d=x

Из (1,2) получим 7a+3b+c=k=a+b+c+d

d=6a+2b

Из (1,3) получим 26a+8b+2c=3k=9a+5b+3c+(12a+4b)
5a-b-c=3k

Из (2,3) получим 19a+5b+c=2k

Подставим (d) в (3); получим 33a+11b+3c=4k. Получили линейную систему из трёх уравнений с тремя неизвестными (a,b,c). Далее очевидно.

[Shadow]

TR63 в сообщении #567866 писал(а):

Из (1,3) получим 26a+8b+2c=3k=9a+5b+3c+(12a+4b)
5a-b-c=3k

Из системы
$\\26a+8b+2c=3k\\ 9a+5b+3c+(12a+4b)=3k$
следует
$5a-b-c=0, \text { а не } 5a-b-c=3k$
что совпадает с моем первом сообщении

Цитата:

$\\c=5a-b\\ d=6a+2b$

Дальше ничго не получается резултат зависит от двух переменных и никакие хитрости не проходят. Могу привести примеры, где при одинаковых k, f(4) разные, что означае, что его невозможно выразить только через к

[Arcanine]

Shadow, неизвестное d влияет на смещение графика вдоль оси OY, и мне так кажется, не влияет на коэффициент k.

[Shadow]

На $k=f(1)$ очень даже влияет. Если d=8, то было сказано $f(4)=8k$.
Вот пример:
$\\a=2,b=0,c=10,d=12,f(1)=k=24,f(2)=48,f(3)=96,f(4)=180\\ a=1,b=6,c=-1,d=18,f(1)=k=24,f(2)=48,f(3)=96,f(4)=174$
Так как же выразить f(4) только через к. Нельзя. Ответ
$f(4)=7k+6a$

[Профессор Снэйп]

g______d в сообщении #567291 писал(а):

Явно недостаточно данных. Может быть что угодно.

Угу. Полином третьей степени строится по четырём произвольным точкам!