Тест на абстрактно-логическое мышление

[azmt]

В понимании дело.
Теперь предположим, что $x<y$, тогда имеем
Р(х,y)=1$, $Q(x,y)=0$
и $F(x,y)=0$, отсюда следует, что
$\forall x (x<y) \forall y(y>x) \big ((1 \mathop {\&} 0) \rightarrow 0 $\big ).
Для случая $x>y$ : $\forall x (x>y) \forall y(y<x) \big ((0 \mathop {\&} 1) \rightarrow 0 $\big )

Для случая $x=y$ : $\forall x (x=y) \forall y(y=x) \big ((0 \mathop {\&} 0) \rightarrow 1 $\big ).
И еще хотел уточнить такой момент. Вышеприведенное соотношение (сообщение №1) истинно только чисто логически? Известно, что "так называемая фактическая истинность предложений, понимаемая как "соотвествие действительности" в логике принимается без всякого обсуждения." То есть не из каких правил логики не вытекает, что могут существовать два действительных числа, удовлетворяющих указанному соотношению.

[Munin]

azmt в сообщении #557832 писал(а):

$\forall x (x<y) \forall y(y>x) \big ((1 \mathop {\&} 0) \rightarrow 0 \big )$

Вот тут я спрошу у других присутствующих в теме, более близких к практике преподавания матанализа, насколько корректна такая запись. У меня есть сомнения, но я не готов к дальнейшим уточнениям.

azmt в сообщении #557832 писал(а):

Известно, что "так называемая фактическая истинность предложений, понимаемая как "соотвествие действительности" в логике принимается без всякого обсуждения."

На самом деле, ситуация сложнее.
Есть набор логических утверждений, "висящих в воздухе", и для них, действительно, можно как-то произвольно поприсваивать истинность, и дальше искать истинность других утверждений, опираясь только на то, что есть.
А есть возможность "приземлить" этот набор логических утверждений - сопоставить их с моделью теории. Тогда истинность утверждений будет пониматься в смысле, истинны ли они для этой модели, или нет. Одной теории можно иногда сопоставить множество разных (неизоморфных) моделей.

Так что можно рассматривать исходное утверждение, как относящееся к действительным числам, как к абстрактному множеству и отношению строгого порядка на нём, как к произвольному отношению (правда, тогда знак $<$ некорректен, как мне указали). В этих случаях соотношение может быть истинно, ложно, или не иметь определённой истинности (быть невыводимо из известных фактов).

[VPopov]

Superjeka в сообщении #555425 писал(а):

False -> False = True
False -> True = True

В общем, согласен с Padawan.

Абстрактно-логическое мышление так же проблематично, как, скажем, абстрактно-желательное хотение... выпить рюмку водки и закусить ее свежепросоленным огурчиком. F и T - это не сущности типа "рюмки водки" и "огурчика", а логические знаки со своими синтаксисом, семантикой и прагматикой, которые состоят в единственном и неизменном отношении антисимметрии , а именно: T = -F, и проделывать с ними какие-либо другие операции - нельзя. Эти операции с любыми своими символами позволяет проделывать современная "чистая математика", потому что ее символы - одни лишь имена (один синтаксис) без семантики и, естественно, без прагматики. Предельно узкий формализм, который создавал Гильберт и его последователи, разумеется также нуждается в "треугольнике Фреге", но на авансцену этого триединства выдвигается чистый символ (имя), который почти тождествен другому имени из данной индивидной области, но это все же есть отношение сходства, но не тождества (как, скажем, отношение между двумя близнецами). Если содержательная теория допускает вариации, то можно, конечно, заменить его тождеством, но только при заданных аксиомами граничных условиях. Например, гераклитовская метафора "Невозможно в реку войти дважды" предполагает диахроническое отношение между рекой "сегодня" и рекой "завтра". Но сама-то река остается тождественной себе синхронически, т.е. она течет ВМЕСТЕ СО ВРЕМЕНЕМ и для практики это более удобная абстракция, чем ее диахроническая версия. К сожалению, чистая математика и символическая логика этих дистинкций не понимают. Это особенно явно видно при манипуляции равносильностями,, которые ничем не ограничены, кроме скобок (скобкования).