Помогите решить задачи по дифгему.

[Юля]

Никак не могу решить задачи по диф. геометрии:
1)Доказать, что символы Христоффеля тензорами не являются.

P.S. кажется, нужно перейти к новым координатам. Но закон перехода я знаю, а вывести этот закон преобразования симолов Христоффеля при переходе к другим координатам не могу

2) Показать, что поверхность состоит из одних амбилических точек тогда и только тогда, когда это сфера или её часть.

3)Как будут выглядеть основные формы поверхностей в случае, если координатная сетка состоит из асимптотических линий.

4)Показать, что если вторая кв. форма есть тождественный нуль, то это либо плоскоть, либо её часть.

Помогите, если кто-то сможет...

Изменил название на информативное //cepesh

[LynxGAV]

Юля писал(а):

P.S. кажется, нужно перейти к новым координатам. Но закон перехода я знаю, а вывести этот закон преобразования симолов Христоффеля при переходе к другим координатам не могу.

Dan_Te писал(а):

К сожалению, диффгем никогда не был моим любимым предметом...

К сожалению, у меня его вообще не было.
По старой дружбе от физика математику. Надеюсь вы меня поймете.
Запишем ковариантную производную вектора $V^{\nu}$:
${\nabla}_{\mu}V^{\nu}={\partial}_{\mu}V^{\nu}+{\Gamma}^{\nu}_{\mu\lambda}V^{\lambda}$.
Для нахождения свойств преобразования ${\Gamma}^{\nu}_{\mu\lambda}$потребуем, чтобы левая часть была тензором (а если левая тензор, то и правая тоже..хе) и запишем для нее закон преобразования:
${\nabla}_{{\mu}'}V^{{\nu}'}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{{\mu}'}}\frac{\partial x^{{\nu}'}}{\partial x^{\nu}}{\nabla}_{\mu}V^{\nu}$.
Используя определение ковариантной производной перепишем и подделаем: ${\nabla}_{{\mu}'}V^{{\nu}'}={\partial}_{{\mu}'}V^{{\nu}'}+{\Gamma}^{{\nu}'}_{{\mu}'{\lambda}'}V^{{\lambda}'}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{{\mu}'}}\frac{\partial x^{{\nu}'}}{\partial x^{\nu}}{\partial}_{\mu}V^{\nu}+\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{{\mu}'}}V^{\nu}\frac{\partial}{\partial x^{{\mu}}}\frac{\partial x^{{\nu}'}}{\partial x^{\nu}}+{\Gamma}^{{\nu}'}_{{\mu}'{\lambda}'}\frac {\partial x^{{\lambda}'}}{\partial x^{\lambda}}V^{\lambda}$.
C другой стороны возьмемся за правую часть:$\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{{\mu}'}}\frac{\partial x^{{\nu}'}}{\partial x^{\nu}}{\nabla}_{\mu}V^{\nu}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{{\mu}'}}\frac{\partial x^{{\nu}'}}{\partial x^{\nu}}{\partial}_{\mu}V^{\nu}+\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{{\mu}'}}\frac{\partial x^{{\nu}'}}{\partial x^{\nu}}{\Gamma}^{\nu}_{\mu\lambda}V^{\lambda}$.
Приравняем последних два уравнения (поменяйте немой индекс $\nu$ на $\lambda$):${\Gamma}^{{\nu}'}_{{\mu}'{\lambda}'}\frac {\partial x^{{\lambda}'}}{\partial x^{\lambda}}V^{{\lambda}}+\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{{\mu}'}}V^{\lambda}\frac{\partial}{\partial x^{{\mu}}}\frac{\partial x^{{\nu}'}}{\partial x^{\lambda}}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{{\mu}'}}\frac{\partial x^{{\nu}'}}{\partial x^{\nu}}{\Gamma}^{\nu}_{\mu\lambda}V^{\lambda}$.
Поскольку равенство выполняется для любого вектора $V^{\lambda}$, исключим его с обоих сторон и домножим на $\frac{\partial x^{\lambda}}{\partial{\lambda}'}$, после чего получим ${\Gamma}^{{\nu}'}_{{\mu}'{\lambda}'}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{{\mu}'}}\frac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{{\lambda}'}}\frac{\partial x^{{\nu}'}}{\partial x^{\nu}}{\Gamma}_{\mu\lambda}^{\nu}-\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{{\mu}'}}\frac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{{\lambda}'}}\frac{{\partial}^{2}x^{{\nu}'}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\lambda}}$.
Из-за второго слагаемого справа понятно, что ${\Gamma}^{\nu}_{\mu\lambda}$ не является тензором (вспомните закон преобразования тензора).

Все предельно ясно. Пожалуйста, не добивайте меня вопросами . (Разве что вы не такими обозначения пользуетесь для ковар. произв. и т.п., но сообразить очень просто.)

Почему Христоффель? Разве не Кристоффель?

Насколько я помню, Ландау-Ливщиц пишут закон преобразования, но вывода не предлагают. Причем, как по мне, эти параграфы особой ясностью в их изложении не отличаются.

[Юля]

LynxGAV писал(а):

Почему Христоффель? Разве не Кристоффель?

Спасибо большое за помощь!!!

Нам так преподаватель сказал, что Христоффель. Вообще, он нам на немецком написал и сказал, что правильнее переводить на русский: Христоффель.

[Юля]

Вот ещё задачка... может кто знает

Привести примеры непрерывной функции , но не удовлетворяющей теореме Лившица.

[Capella]

Юля писал(а):

4)Показать, что если вторая кв. форма есть тождественный нуль, то это либо плоскоть, либо её часть.

По моему эту можно сделать так: задаёте параметризацию плоскости например в общем виде: $ax + by + cz = 0$. Теперь задаёте отображение Гаусса (нормальный вектор к поверхности). Он у Вас будет выглядеть в данном случае как $ N = (a,b,c)/\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Этот вектор константен, отсюда $ dN = 0 $. Теперь используйте просто определение второй квадратичной формы, как скалярного продукта между производной нормального вектора и касательной, Вы получите, что это равняется 0:$ II_p (t')= - <dN(t'), t'> $. Можно сделать параметризацию от u и v изадать ещё так: $ II_p (t')= - <N_u u' + N_v v', x_u u' + x_v v'> $.
Ну вот, а у остальных поверхностей отображение Гаусса уже не будет константой. Здесь можно показать это, используя само определение этого отображение: :$ N(q) = $ x_u$ $\bigwedge$ $x_v$ / |$x_u $ $\bigwedge$ $x_v$| $. Отсюда видно, что производная векторабудет равна 0, тогда и только тогда, когда оба вектора константы, а поскольку векторы первые производные, то это возможно "только" в случае с плоскостью. (вообще-то там есть какии-то исключения, но я думаю, что в данном случае их можно не рассматривать).

[Юля]

спасибо большое!!!

[Юля]

Юля писал(а):

3)Как будут выглядеть основные формы поверхностей в случае, если координатная сетка состоит из асимптотических линий.

Получается, что II кв. форма равна 0. коэффициенты при квадратах дифференциалов равны 0. А как это можно связать с I кв. формой?

[Capella]

Юля писал(а):

Юля писал(а):

3)Как будут выглядеть основные формы поверхностей в случае, если координатная сетка состоит из асимптотических линий.

Получается, что II кв. форма равна 0. коэффициенты при квадратах дифференциалов равны 0. А как это можно связать с I кв. формой?

Не совсем поняла Ваш вопрос... Вы хотите знать, как первая форма связана со второй? Она связана, например, через кривизну Гаусса: $ K = eg - f^2 / EG - F^2 $. Соответственно, если у вас коэффициенты второй формы обнуляются, там и кривизна равна 0. Можно использовать среднюю кривизну: $ H = eG - 2fF +gE / 2( EG -F^2)$. Вы, собственно, для того эти оочень длиные производные, детерминанты и дроби считает, что в итоге вас интерессует искривление поверхностей или, например, угол между двумя поверхностями.

[Юля]

Меня угол пока не интересует... Мне нужно определить какой вид будет иметь I квадратичная форма, если координатная сетка состоит из асимптотических линий. получается, что II кв. форма равна 0. А как найти коэффициенты первой, не знаю...там, наверное, тоже что-то особенное, по крайней мере какая-то зависимость должна быть.

[Capella]

Юля писал(а):

Меня угол пока не интересует... Мне нужно определить какой вид будет иметь I квадратичная форма, если координатная сетка состоит из асимптотических линий. получается, что II кв. форма равна 0. А как найти коэффициенты первой, не знаю...там, наверное, тоже что-то особенное, по крайней мере какая-то зависимость должна быть.

Не, ну первая квадратичная форма у Вас задана по любому следующими коэффициентами:
$ E_p = <x_u, x_u>_p $
$ F_p = <x_u, x_v>_p $
$ G_p = <x_v, x_v>_p $
То есть у Вас скалярный продукт двух первых производных по Вашим параметрам. Вторая форма была описана мною ранее. Это скалярный продукт производной нормали с производной. Задаёте поверхность, параметризируете, делаете производные, берёте скалярный продукт. Теперь асимптотические линии это регулярные кривые $ C \in S $ с нормальной кривизной равной 0, но поскольку это независит от первой формы (для определения кривизны Вам необходима вторая форма), то Вам её надо считать каждый раз отдельно, для любой поверхности... Я бы так ответила.

[Юля]

может и так... спасибо!
и вправду ничего выкрутить не получается с коэффициентами I формы. Но только тогда задача смысл теряет.

[Capella]

Что такое амбилические точки? Я знаю следующие:
гиперболические $ det(dN_p) < 0 $
эллиптические $ det(dN_p) > 0 $
параболические $ det(dN_p) = 0, но dN_p =| 0 $ здесь производная не равна 0
плоские $ dN_p = 0 $

Ладно, похоже ваш проф называет эллиптические точки амбилическими. Короче идея в том, что у сферы любая её часть представляет из себя выпуклость. Отсюда у вас получаются положительные детерминанты Вашей матрицы. Используете доказательство от противного. Предполагаете, что есть какая-то регулярная поверхность, которая имеет точку (или часть поверхности) не выпуклой, однако все её точки эллиптические (амболические) точки. но тогда берёте производную отображения Гаусса в этой точке, находите, что её детерминанта не положительна и приходите к противоречию (по тем правилам, которые я написала для Вас). Таким образом поверхность может быть только выпуклой, а это возможно только у сферы. qed