Собственные числа блочной матрицы

[YuraImashev]

Здравствуйте! Пожалуйста, помогите разобраться.
Дана блочная матрица $ \begin{pmatrix} A_{1,1} & A_{1,2}\\ A_{2,1} & A_{2,2} \end{pmatrix}$. Хочу понять, упрощает ли процесс поиска собственных чисел то, что подматрицы представляются в виде
$A_{1,1} = a_{1,1} \cdot A_{0,0} A_{1,2} = a_{1,2} \cdot A_{0,0} A_{2,1} = a_{2,1} \cdot A_{0,0} A_{2,2} = a_{2,2} \cdot A_{0,0}$
, где $A_{0,0}$ - некая квадратная матрица, a $a_{i, j}$ - вещественные коэффициенты.

[Xaositect]

Да, упрощает.
Вообще, такая конструкция называется кронекеровым произведением $\left(\begin{matrix}a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{matrix}\right)\otimes A_{00}$ и у него много хороших свойств.
В частности, с.з. кронекерового произведения суть произведения с.з. множителей. Докажите сами.

[YuraImashev]

В моём случае матрица $A_{0,0}$ имеет размерность 2. Матрица коэффициентов тоже. Тогда у каждой из этих матриц 2 собственных числа, произведение которых, как я понимаю, даст куда больше, чем 4 с.ч.. А исходная матрица имеет только 4. Что я понял не так?

[Xaositect]

Мы умножаем каждое с.з. одной матрицы на каждое с.з. второй матрицы. Получается как раз дважды два.

[YuraImashev]

О, Господи. Да, извините. :) Ум за разум уже зашёл, видимо)

Спасибо. Попробую это доказать.

[YuraImashev]

Не получается доказать то, что с.ч. произведения Кронекера - произведение с.ч. множителей.

Я пробовал доказать, используя то, что определитель блочной матрицы $\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}$, такой, что все её подматрицы - квадратные, равен $|A_{11}| \cdot |A_{22} - A_{21} \cdot A_{11}^{-1} \cdot A_{12}|$. Но такой подход не использует того, что в моём случае матрицу можно представить в виде произведения Кронекера, да и вообще там всё довольно не понятно.

Также я пытался доказать это используя свойство произведения Кронекера: $\det(A \otimes B) = \det(A)^{n} \cdot \det(B)^{m}$, где $n$ и $m$ - размерности соответствующих матриц. Тогда мне нужно, чтобы определитель любой из матриц был нулевым. Но я впал в ступор - какое уравнение мне вообще нужно составить, чтобы выразить с.ч. каждой матрицы?

Не знаю в правильно ли направлении я вообще двигаюсь.

[Xaositect]

Вы слишком далеко пошли, для доказательства достаточно определения собственного вектора и значения.