Задачи из Математического Просвещения №16 (2012)

[maxal]

Задачи из номера 16 "Математического Просвещения". См. также задачи из номеров 10, 11, 12, 13, 14, 15.


1. Найти первообразную $\displaystyle \int\frac{x^2\,dx}{(x\sin(x)+\cos(x))^2}$.

Решение приведено в номере 18 (стр. 269)


2. (Д. В. Дерягин) В Черноморске во время обсуждения вопроса о том, когда же наконец Черноморск объявят вольным городом, сложилась занятная ситуация. Все черноморцы разбились на партии, а все партии на фракции так, что:
1) существует партия, в которой объединились все $n$ жителей города;
2) каждая партия состояла ровно из двух непересекающихся фракций;
3) каждая фракция численностью более одного человека считала себя партией.
Каждый житель города платит членский взнос (1 руб.) в каждой партии, членом которой является. Как им надо было организоваться, чтобы сумма взносов была: а) максимальной; б) минимальной?


3. (М. Прасолов) Пусть у функции, определенной на отрезке [или на прямой], в каждой точке этого отрезка [прямой] есть конечный предел (не обязательно совпадающий со значением в точке). Насколько такая функция может отличаться от непрерывной? Более точно, каким может быть множество точек разрыва у такой функции?


4. (К. Н. Игнатьев) Ограничена ли последовательность $\{a_n\}$, заданная рекуррентно:
$a_1 = 1$, $a_2 = x$, $a_{n+1}= \frac{a_{n-1}^2-1}{a_{n-1}}$, если $x\in(-2,2)$?
(исправлена опечатка, указанная в №18)

Решение приведено в номере 19 (стр. 260)


5. (неравенство Виртингера) Двумерная фигура в четырёхмерном пространстве имеет площадь $S$. Ее проекция на первые две координаты имеет площадь $S_1$, а проекция на последние две координаты имеет площадь $S_2$. Докажите, что $S\ge S_1 + S_2$.


6. (Н. Николов, Б. Станков) Дана инъекция $F\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N}$. Когда из нее извлекается функциональный корень, т.е. существует отображение $G: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ такое, что $G\circ G=F$? Когда множество функциональных корней конечно?
Ответ дать в терминах строения множества двусторонних орбит элементов. (Двусторонняя орбита элемента $x$ -- это множество элементов вида $\{f^{k}(x)\}_{k\in\mathbb{Z}}$.)


7. (А. Я. Белов) В единичный шар вписано тело $T$, все ребра которого имеют длину не более $10^{-3}$, а площадь его поверхности больше $10^3$. Докажите, что у него не менее $10^9$ граней.


8. (Д. Фон-Дер-Флаас) Даны два подмножества ${\mathbb Z}_2^n$ -- $A$ и $B$. Известно, что $|A|+|B|>2^k$. Докажите, что $|A+B|\ge 2^k$.
($A+B$ -- это сумма Минковского двух множеств.)


9. (В. О. Бугаенко) В алфавите Анчурского языка есть лишь три буквы: $A$, $B$ и $C$. Два разных слова обозначают одно и то же понятие, если одно из них может быть получено из другого с помощью следующих операций, которые можно проводить в любой последовательности и в любых количествах:

• в любом месте слова можно заменять друг на друга следующие комбинации букв: $ABA$ на $BAB$, $ACA$ на $CAC$ или $BC$ на $CB$ (и наоборот).
• из любого места можно выкидывать две одинаковые буквы, идущие подряд, а также в любое место можно вставлять две одинаковые буквы.

а) Конечное или бесконечное количество понятий можно выразить с помощью этого языка? Если конечное, то сколько?

б) Тот же вопрос, если замена $BC$ на $CB$ запрещена, однако разрешена замена $BCB$ на $CBC$.

в) Тот же вопрос, если в алфавите две буквы $A$ и $B$, свойство 2 сохраняется и из любого места можно выкидывать $(AB)^n$ и в любое место это вставлять.

Решение приведено в номере 19 (стр. 260-262)


10. Дан выпуклый $n$-угольник. Двое по-очереди проводят его стороны или диагонали. Запрещается проводить отрезок, имеющий общую точку с ранее проведенными (в том числе и общий конец). Проигрывает тот, кому некуда ходить. При каких $n$ выигрывает начинающий?


11. (Э. Б. Винберг) При каких натуральных $n$ число $\frac{3^n-1}{2}$ есть квадрат целого числа?


12.
а) Куб $n\times n\times n$ разбит на $n^3$ единичных кубиков, каждый раскрашен в один из трех цветов. Докажите, что найдется одноцветный путь, соединяющий противоположные грани большого кубика. Соседними считаются кубики имеющие хотя бы одну общую точку. (Теорема Лебега о покрытиях)

б) $k$-мерный куб $n\times n\cdots\times n$ разбит на $n^k$ единичных кубиков, каждый раскрашен в один из $l$ цветов. Докажите, что найдется связный кластер объема $C(k)n^{k+1-l}$. (Г. В. Кондаков, А. Я. Белов)

[Dave]

5. Выберем в плоскости фигуры два единичных ортогональных вектора, $\vec t$ и $\vec u$. Тогда, если мы для любого $\varepsilon>0$ нарисуем на этой плоскости координатную сетку с шагом $\varepsilon$, параллельную выбранным векторам и приблизим нашу фигуру $n(\varepsilon)$ квадратами этой сетки, то площадь приближения будет равна количеству квадратов, умноженному на площадь одного квадрата, т.е. $n(\varepsilon) \varepsilon^2$. С другой стороны, если $\vec t=(t_1,t_2,t_3,t_4)=(\vec a, \vec b)$, а $\vec u=(u_1,u_2,u_3,u_4)=(\vec c, \vec d)$, где $\vec a=(t_1,t_2)$ и $\vec c=(u_1,u_2)$ - вектора в плоскости, образованной первыми двумя координатами, а $\vec b=(t_3,t_4)$ и $\vec d=(u_3,u_4)$ - вектора в плоскости, образованной последними двумя координатами, то проекция каждого квадрата приближения на первую из указанных плоскостей будет параллелограммом, натянутым на вектора $\varepsilon \vec a$ и $\varepsilon \vec c$, который имеет площадь $\varepsilon^2 P$, где $P=|t_1u_2-t_2u_1|$, а вся проекция приближается фигурой, имеющей площадь $n(\varepsilon) \varepsilon^2 P$. Аналогично, проекция исходной фигуры на плоскость, образованную последними двумя координатами, приближается фигурой, составленной из параллелограммов, натянутых на вектора $\varepsilon \vec b$ и $\varepsilon \vec d$, и имеющей площадь $n(\varepsilon) \varepsilon^2 Q$, где $Q=|t_3u_4-t_4u_3|$. Стало быть, если мы докажем, что $P+Q \leqslant 1$, то, умножая это неравенство на $n(\varepsilon) \varepsilon^2$ и переходя к пределу при $\varepsilon \to 0$, получим требуемое неравенство $S_1 + S_2 \leqslant S$.
Нетрудно получить, что $P^2+(\vec a,\vec c)^2=\|\vec a\|^2 \|\vec c\|^2$, откуда следует, что $P \leqslant \|\vec a\| \|\vec c\|$. Аналогично, $Q \leqslant \|\vec b\| \|\vec d\|$. В то же время, $\|\vec a\|^2 + \|\vec b\|^2=\|\vec t\|^2=1$ и $\|\vec c\|^2 + \|\vec d\|^2=\|\vec u\|^2=1$. Применяя неравенство Коши-Буняковского к двумерным векторам единичной длины $\vec g = (\|\vec a\|,\|\vec b\|)$ и $\vec h = (\|\vec c\|,\|\vec d\|)$, получим:

$$P+Q \leqslant \|\vec a\| \|\vec c\| + \|\vec b\| \|\vec d\| = (\vec g,\vec h) \leqslant \|\vec g\| \|\vec h\|=1,$$

что и требовалось доказать.

[maxal]

maxal в сообщении #567331 писал(а):

8. (Д. Фон-Дер-Флаас) Даны два подмножества ${\mathbb Z}_2^n$ -- $A$ и $B$. Известно, что $|A|+|B|>2^k$. Докажите, что $|A+B|\ge 2^k$.
($A+B$ -- это сумма Минковского двух множеств.)

Первоисточник задачи (и решение), по-видимому, тут: http://ru-math.livejournal.com/337300.html

-- Fri May 04, 2012 19:35:57 --

maxal в сообщении #567331 писал(а):

11. (Э. Б. Винберг) При каких натуральных $n$ число $\frac{3^n-1}{2}$ есть квадрат целого числа?

Эту задачу мы как раз с nnosipov недавно вспоминали. Мое решение тут: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=346906

[Dave]

В голову пришла мысль, что моё решение задачи 5 можно упростить: равенства $P=|t_1u_2-t_2u_1|$ и $Q=|t_3u_4-t_4u_3|$, равно как и $P^2+(\vec a,\vec c)^2=\|\vec a\|^2 \|\vec c\|^2$ не нужны; а для доказательства того, что $P \leqslant \|\vec a\| \|\vec c\|$ и $Q \leqslant \|\vec b\| \|\vec d\|$ достаточно заметить, что площадь параллелограмма не превосходит произведения смежных сторон.
Кроме этого, я предполагал, что данная в условии фигура - плоская. Но это не обязательно так, она только двумерная. Тем не менее, аппроксимировав любую достаточно гладкую (что, по идее, подразумевается) двумерную поверхность плоскими элементами и используя уже полученное утверждение, после сложения соответствующих неравенств и перехода к пределу при шаге аппроксимации, стремящемся к нулю, получим требуемое неравенство.

[maxal]

Решение задачи 1 приведено в номере 18 (стр. 269)

Решения задач 4 и 9 приведены в номере 19 (стр. 260-262)

Решение задачи 3 приведено в номере 20 (стр. 263-264)