Персечение компактов

[DDuMoH]

Как можно доказать, что пересечение компактных, связных, невложенных множеств непусто тогда и только тогда, когда непусто пересечение их границ? Или хотя бы в частном случае: компактных, выпуклых, невложенных.

[g______d]

Никак. Возьмите на плоскости диск радиуса 2 и кольцо радиуса 3, из которого выкинули диск радиуса 1 (все с центром в нуле).

Или на прямой отрезки $[0;2]$ и $[1;3]$.

[DDuMoH]

Спасибо за контр примеры.

-- Пт май 04, 2012 15:45:41 --

Не подскажите тогда, как показать, что пересечение замкнутых, невложенных кругов на плоскости непусто тогда и только тогда, когда пересечение их окружностей непусто?

[g______d]

Я думаю, что это верно для пары выпуклых множеств $A$ и $B$ на плоскости. И должно следовать из следующих утверждений:

1. Любая точка границы $A\cap B$ принадлежит границе $A$ или границе $B$ (это, вроде бы, несложно).

2. Граница выпуклого множества замкнута и связна.

Тогда пересечения $\partial A\cap \partial (A\cap B)$ и $\partial B\cap \partial (A\cap B)$ --- замкнутые подмножества $\partial (A\cap B)$, дающие в объединении все $\partial (A\cap B)$. Из связности следует, что они пересекаются.

[ewert]

Для выпуклых компактов это верно вообще в любой размерности, начиная со второй, просто потому, что расстояние от любой внутренней точки компакта до границы есть непрерывная функция на сфере (а если у хоть одного из компактов нет внутренних точек -- утверждение становится тривиальным).