2012 в различных системах счисления

[Ktina]

Эту задачу я придумала сама только что.

Число 2012 записали в позиционной системе счисления с натуральным основанием $n$.
Получили трёхзначное число, сумма цифр которого равна 32.
Найти все возможные значения $n$.

[Cash]

32 - это в системе по основанию $n$ или 10?

[Ktina]

Cash в сообщении #567208 писал(а):

32 - это в системе по основанию $n$ или 10?

10.

[Nilenbert]

Решение:

(Оффтоп)

Ну во-первых $n^2\le2012< n^3\to 12<n<45$

Во-вторых, для любого $k$, верно, что $k-S_n(k)$ делится на $n-1$, где $S_n(k)$ - сумма цифр числа $k$ в системе с основанием $n$. Стало быть, $2012-32=1980$ делится на $n-1$. Перебирая делители 1980 между 12 и 43, получаем что $n-1$ должно быть одним из чисел 12, 15, 18, 20, 22, 24, 30, 33, 36, 40. Тогда $n$ должно быть одним из чисел 13, 16, 19, 21, 23, 25, 31, 34, 37, 41. Перебирая их получаем что подходят числа 13, 19, 21, 23, 31, 34, 37, а именно:

$$ 2012=(11,11,10)_{13}=(5,10,17)_{19}=(4,11,17)_{21}=(3,18,11)_{23}=(2,2,28)_{31}=(1,25,6)_{34}=(1,17,14)_{37} $$

Решал вручную, так что могут быть ошибки.

[Ktina]

Nilenbert в сообщении #567220 писал(а):

Решение:

(Оффтоп)

Ну во-первых $n^2\le2012< n^3\to 12<n<45$

Во-вторых, для любого $k$, верно, что $k-S_n(k)$ делится на $n-1$, где $S_n(k)$ - сумма цифр числа $k$ в системе с основанием $n$. Стало быть, $2012-32=1980$ делится на $n-1$. Перебирая делители 1980 между 12 и 43, получаем что $n-1$ должно быть одним из чисел 12, 15, 18, 20, 22, 24, 30, 33, 36, 40. Тогда $n$ должно быть одним из чисел 13, 16, 19, 21, 23, 25, 31, 34, 37, 41. Перебирая их получаем что подходят числа 13, 19, 21, 23, 31, 34, 37, а именно:

$$ 2012=(11,11,10)_{13}=(5,10,17)_{19}=(4,11,17)_{21}=(3,18,11)_{23}=(2,2,28)_{31}=(1,25,6)_{34}=(1,17,14)_{37} $$

Решал вручную, так что могут быть ошибки.

Почти верно.

[Nilenbert]

Можно узнать где ошибки?

[Ktina]

Nilenbert в сообщении #567223 писал(а):

Можно узнать где ошибки?

Ошибка только одна, обусловленная, по всей видимости, решением "вручную" (хотя я тоже "вручную" решала).
Пропустили "базу" 16.

[Nilenbert]

Точно. А вы таким же методом решали?

[Ktina]

Nilenbert в сообщении #567228 писал(а):

Точно. А вы таким же методом решали?

А что, есть другой?
Нет, ну, можно ещё, конечно, тупо перебирать все "базы" с 13 по 44.