Как производная по направлению зависит от вектора?

[Dims]

Если производная по направлению определена следующим образом

$\lim_{h \rightarrow 0^+}{\frac{f(\bold{x} + h\bold{v}) - f(\bold{x})}{h}}$

то она зависит от длины вектора $\bold{v}$, верно?

Как она зависит? При маленьких $|\bold{v}|$ приближается ли она к приращению функции? Как это показать?

[Padawan]

Эта производная равна $(\operatorname{\mathbf {grad}} f, \mathbf{v})$.

[olenellus]

А ещё $\langle\mathrm{d}f|\mathbf{v}\rangle_{\mathbf{x}}$

Но если Вы всё это знаете, то там и доказывать нечего. А если нет, то попробуйте переписать своё определение через единичный вектор, сонаправленный $\mathbf{v}$.

А что Вы имели в виду по "приращением функции"?

[Maslov]

Padawan в сообщении #567032 писал(а):

Эта производная равна $(\operatorname{\mathbf {grad}} f, \mathbf{v})$.

Padawan, а разве не $(\operatorname{\mathbf{grad}} f, {\dfrac {\mathbf{v}} {|\mathbf{v}|}})$ ?

[olenellus]

У Вас производная по направлению в натуральной параметризации кривой. А Dims написал другое выражение, которое зависит от параметризации.

[Padawan]

Maslov в сообщении #567082 писал(а):

Padawan, а разве не $(\operatorname{\mathbf{grad}} f, {\dfrac {\mathbf{v}} {|\mathbf{v}|}})$ ?

Если $|\mathbf v|=1$, то да

[ewert]

Произвольной по направлению это можно называть только при $|\mathbf v|=1$/

[Padawan]

ewert в сообщении #567164 писал(а):

Производной по направлению это можно называть только при $|\mathbf v|=1$

А как эта штука называется правильно? Производная Ли что-ли... Назовем её производной вдоль вектора.

[ewert]

Padawan в сообщении #567165 писал(а):

А как эта штука называется правильно?

Не знаю. Лучше всего её называть производной по направлению, умноженной на длину вектора.

[Munin]

ewert
То есть, вы считаете, производная по направлению бывает только в пространствах с метрикой и, соответственно, нормой для касательных векторов?

Padawan
Ли всё-таки апеллирует к векторному полю (которое тоже принято называть вектором, но смысл всё-таки другой, чем вектор, заданный в точке). Может, это и можно называть производной по вектору, дифференциалом по вектору, или ещё как-то, но все эти названия менее знакомы и естественны, и я бы проигнорировал пуризм ewert, и спокойно называл это производной по направлению. Из обозначений и так всегда ясно, нормирован вектор или нет.

[Maslov]

Padawan в сообщении #567163 писал(а):

Maslov в сообщении #567082 писал(а):

Padawan, а разве не $(\operatorname{\mathbf{grad}} f, {\dfrac {\mathbf{v}} {|\mathbf{v}|}})$ ?

Если $|\mathbf v|=1$, то да

Согласен, ерунду спросил

Padawan в сообщении #567165 писал(а):

А как эта штука называется правильно? Производная Ли что-ли... Назовем её производной вдоль вектора.

У Зорича так и называется: "производная по вектору". А производная по единичному вектору -- это "производная по направлению".

[мат-ламер]

Padawan в сообщении #567165 писал(а):

А как эта штука называется правильно?

Есть предложение назвать её производной Гато.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #567290 писал(а):

Есть предложение назвать её производной Гато.

Есть предложение её так не называть. Это если и Гато, то никак не производная, а дифференциал; две большие разницы.

[мат-ламер]

Ну, я всего лишь предложил. Существующие термины - производная по направлению, дифференциал Гато - кажутся мне неудачными. Правда сейчас под производной Гато понимают тот вектор, который в этой ветке обозначен как градиент. Хотя могут быть случаи, когда градиент (в смысле производной Фреше) не существует, а тот вектор существует.

[мат-ламер]

Хотя с дифференциалом есть сходство, поскольку выражение линейно зависит от приращения. С другой стороны через предел определяют обычно производную, а не дифференциал.