Оценить интеграл

[Keter]

Исследовать интеграл на сходимость

$$\int\limits_{1}^{+\infty} \sqrt[\alpha]{\frac{C}{x}}\, dx, 0 < \alpha < 1$$

Заменил $\frac{1}{\alpha}=\delta$. Так как $0 < \alpha < 1$, то $\delta>1$.

$$\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{x^\delta}\, dx = \frac{x^{1-\delta}}{1-\delta} \Bigg|_1^{+\infty}$$

$$\lim_{x \to \infty} \Bigg( \frac{x^{1-\delta}}{1-\delta} \Bigg) - \frac{1}{1-\delta} = \frac{1}{\delta-1}$$

$$\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{x^\delta}\, dx = \frac{1}{\delta-1}$$

$$\int\limits_{1}^{+\infty} \sqrt[\alpha]{\frac{C}{x}}\, dx = \int\limits_{1}^{+\infty} \Bigg(\frac{C}{x}\Bigg)^{\delta}\, dx = \frac{C^{\delta}}{\delta-1}$$

Сходится ли этот интеграл?

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

1. Это у Вас не интеграл, а непонятно что: в интеграле должна быть указана переменная интегрирования.

2. Приведите свои попытки решения задачи и объясните, что конкретно вызывает затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Вернул.

[Maslov]

Keter, в каком случае несобственный интеграл называется сходящимся?

[Keter]

Maslov в сообщении #566970 писал(а):

Keter, в каком случае несобственный интеграл называется сходящимся?

Если интеграл от функции по модулю сходится.

[Maslov]

Keter в сообщении #566981 писал(а):

Если интеграл от функции по модулю сходится.

А что тогда такое абсолютно сходящийся несобственный интеграл? :)

[Keter]

Это и есть абсолютно сходящийся. А я не могу понять, когда же он сходится вообще.

[Maslov]

Keter в сообщении #567021 писал(а):

я не могу понять, когда же он сходится вообще

Пожалуйста, возьмите учебник и приведите определение сходимости несобственного интеграла.

[Keter]

Maslov в сообщении #567033 писал(а):

Keter в сообщении #567021 писал(а):

я не могу понять, когда же он сходится вообще

Пожалуйста, возьмите учебник и приведите определение сходимости несобственного интеграла.

Нет у меня учебников((

-- 03.05.2012, 21:51 --

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл по бесконечному промежутку называется сходящимся.

То есть всё верно. Интеграл сходится.