Доказать сходимость ряда из сходимости двух других

[lim(f(x))]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей (Колмогоров, Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа", с. 68)
Имеется два сходящихся ряда:

$$\sum \limits _{k=1}^{\infty }(x_{k}^{(n)})^2 $$

$$\sum \limits _{k=1}^{\infty }(x_{k}^{(n)}-x_k)^2.$$

Непонятно, почему из сходимости этих рядов следует:

$$\sum \limits _{k=1}^{\infty}x_{k}^{2} < \infty.$$

Даётся указание, что нужно использовать формулу $(a+b)^2 \leqslant 2(a^2+b^2)$,
то есть, изначально имеем:

$$\sum \limits _{k=1}^{\infty}(x_{k}^{(n)}-x_k)^2\leqslant 2(\sum \limits _{k=1}^{\infty}(x_{k}^{(n)} )^2 + \sum _{k=1}^{\infty}x_{k}^{2}).$$

Я полагаю, нужно использовать то, что если сумма ряда меньше, чем суммы других сходящихся рядов, то этот ряд сходится.
Но у меня только получилось

$$\sum \limits _{k=1}^{\infty}(x_{k}^{(n)} + x_k)^2 \geqslant 0,$$

это вроде бы ничего не даёт.

[mihiv]

$x_k^2=(x_k^{(n)}+x_k-x_k^{(n)})^2$

[lim(f(x))]

Спасибо, понял . Печально, что не мог понять эту школьную задачу без подсказок.