Предположим, что имеет место равенство

(1)
при

и не четном

.
Приведём исходное равенство к виду:

.
Так как

, то

и

и поэтому

, и

. Ясно, что

должны удовлетворять системе неравенств:

.(2)
Каждое их этих неравенств удовлетворяют условию существования треугольника. Следовательно, при

должны существовать

целочисленных треугольников. Нетрудно понять, что треугольники со сторонами

; будут остроугольными, а треугольники со сторонами

; бyдут тупоугольными (в соответствии с неравенствами (2) и теоремой косинусов для любого треугольника). Ни один из них не будет прямоугольным треугольником Пифагора.
Ясно, что мы можем взять из упомянутых выше треугольников, например, треугольник со сторонами

и

: преобразовать их с учетом того, что

в рациональные треугольники со сторонами

и

, (при этом треугольники остаются подобными, изменяется только масштаб). Теперь мы можем сложить их вместе, совместив стороны равные 1, и расположив друг против друга стороны

и

.
gолучим выпуклый четырехугольник. Очевидно, таких четырехугольников мы можем построить в количестве

, выбирая тройки

и

так, чтобы имело место равенство

и дальнейшие рассуждения справедливы для любого из таких четырёхугольников. Если бы вокруг полученного четырехугольника можно было описать окружность, то в соответствии с теоремой Птолемея мы имели бы:

,
где

- вторая диагональ четырех угольника.
Левая часть равенства удовлетворяет исходному предположению и равна

, по этому, чтобы существовало равенство

, должно существовать и равенство

. Видим, что бы последнее равенство имело место, вторая диагональ построенного четырехугольника

тоже должна также равняться

, то есть четырехугольник должен быть либо квадратом, либо прямоугольником,
либо трапецией, как всякий четырехугольник с равными диагоналями.
У перечисленных фигур по крайней мере две противоположные стороны
должны быть равны друг другу. Но в построенном четырехугольнике противоположные стороны не равны друг другу. Следовательно, описать вокруг него окружность невозможно. Таким образом убеждаемся, что при

, построить четырехугольник, вокруг которого можно было бы описать окружность невозможно, в то же время, в соответствии с теоремой Птолемея - это необходимо. Полученное противоречие и доказывает, что исходное предположение наличия равенства

при

не верно.
Дед.