Существование функции Грина.

[swarog46]

Есть задача такого вида:
Установить, существует ли функция Грина для данной краевой задачи, и если
существует, то построить ее.
$Ly=y''''$;
$y(0)=y'(0)=y''(0)=y(1)=0$;

Если я всё правильно понимаю, нужно сначала решить диф. уравнение : $y''''=0$
получается $c_4 \cdot x^3+c_3 \cdot x^2+c_2 \cdot x+c_1=y(x)$

Подскажите пожалуйста, что делать дальше.

[ГАЗ-67]

По теореме из книги Наймарка , если краевая задача имеет только тривиальное решение, то функция Грина существует и единственна .
Далее прибегаем к помощи Камке , все подробнейше расписано .Не буду приводить все вычисления , много их ,много(а праздники на носу) .

$\Gamma=(\xi-1)^2(x^2\xi/3-x^3-x^3\xi/3)$

[мат-ламер]

А что есть функция Грина даной краевой задачи? Часто ограничиваются определением функции Грина для линейного дифференциального оператора. С этим всё понятно.

[swarog46]

Цитата:

А что есть функция Грина даной краевой задачи? Часто ограничиваются определением функции Грина для линейного дифференциального оператора. С этим всё понятно.

Совершенно не понял ваш вопрос. Насколько я понимаю функция грина необходима для определения некоторого параметра, чтобы определить нетривиальные решения краевой задачи.

-- 12.05.2012, 19:25 --

ГАЗ-67
Мне казалось, что здесь как раз-таки объяснят как решить, а не дадут ответ. В Камке я не нашёл ничего ,чтобы могло поспособствовать решению.

[g______d]

Сначала найдите какое-нибудь фундаментальное решение: такую функцию $g(x,x_0)$, что $Lg(x,x_0)=\delta(x-x_0)$ ($L$ действует по $x$, $x_0$ --- параметр). Чтобы это было функцией Грина, надо еще чтобы выполнялись краевые условия. Для этого надо понять, чему равны $g(0,x_0)$, $g'_x(0,x_0)$ и т. д., и вычесть подходящее решение однородного уравнения.

[AlexValk]

Используя понятие дельта-функции Дирака (такая формулировка привычна физикам и другим прикладникам), задачу на функцию Грина в вашем случае можно сформулировать так: найти функцию двух переменных $G(x,x_0)$, $x,x_0\in [0;1]$, удовлетворяющую следующим условиям:
$\frac{\partial^4}{\partial x^4}G(x,x_0)=\delta(x-x_0);$
$G(0,x_0)=\left.\frac{\partial}{\partial x}G(x,x_0)\right|_{x=0}=\left.\frac{\partial^2}{\partial x^2}G(x,x_0)\right|_{x=0}=0, G(1,x_0)=0$.
Следствие этого определения, или, если Вам не нравиться использование дельта-функции - эквивалентная формулировка:
$G''''_{xxxx}(x,x_0)=0, x\not=x_0;$
$ \left.G'''_{xxx}(x,x_0)\right|_{x=x_0+0}-\left.G'''_{xxx}(x,x_0)\right|_{x=x_0-0}=1, \left.G''_{xx}(x,x_0)\right|_{x=x_0+0}=\left.G''_{xx}(x,x_0)\right|_{x=x_0-0}, $
$ \left.G'_{x}(x,x_0)\right|_{x=x_0+0}=\left.G'_{x}(x,x_0)\right|_{x=x_0-0},\left.G(x,x_0)\right|_{x=x_0+0}=\left.G(x,x_0)\right|_{x=x_0-0}; $
$G(0,x_0)=\left.G'_{x}(x,x_0)\right|_{x=0}=\left.G''_{xx}(x,x_0)\right|_{x=0}=0, G(1,x_0)=0$.
Другими словами: функция Грина $G(x,x_0)$ при $x\not=x_0$ удовлетворяет однородному уравнению четвёртого порядка $L_xG(x,x_0)=0$, граничным условиям по переменной $x$ (их у Вас 4 штуки), условиям непрерывности самой функции $G(x,x_0)$ и её первой и второй производной по переменной $x$ в точке $x=x_0$, и условию единичного скачка третьей производной в этой точке.

Из первого уравнения, действительно следует, что $G(x,x_0)$ полином третьей степени по $x$, как Вы и написали. Только вот коэффициенты этого полинома при $x>x_0$ и $x<x_0$ не обязательно совпадают! Поэтому план дальнейших действий таков:
1. Пишите два полинома третьей степени - один для случая $x>x_0$, а другой для случая $x<x_0$. Возникают 8 неизвестных. (Этим Вы удовлетворяете первому уравнению).
2. Граничные условия при $x=0$ дают три условия на коэффициенты "левого" полинома, а граничное условие при $x=1$ - одно условие на коэффициенты "правого" полинома. Получаете
$G(x,x_0)=\begin{cases} cx^3,& x<x_0,\\ b_3 (x^3-1)+b_2(x^2-1)+b_1(x-1), & x>x_0. \end{cases}$
3. Условие на скачок третьей производной $G'''_{xxx}(x,x_0)$ выражает $c$ через $b_3$, а условия на непрерывность $G(x,x_0)$, $G'_x(x,x_0)$ и $G''_{xx}(x,x_0)$ в этой точке позволяют выразить коэффициенты $b_3, b_2, b_1$ через $x_0$.

Окончательный результат можно записать в компактной форме, если использовать тета-функцию Хевисайда

$$G(x,x_0)=\frac16(x-x_0)^3\theta(x-x_0)+\frac16x^3(x_0-1)^3,$$

или в стандартной форме

$$G(x,x_0)=\frac16\begin{cases} x^3(x_0-1)^3,& x\leq x_0,\\ (x-x_0)^3+x^3(x_0-1)^3, & x>x_0. \end{cases}$$