Выяснить геометрический смысл преобразования

[Dosaev]

Дана матрица линейного преобразования размера 3 на 3.
Я получил диагональную матрицу $diag (3 3 2)$ в базисе собственных векторов.
Нужно выяснить геометрический смысл этой матрицы.
Как это сделать?

[lena7]

Перейдите в базис собственных векторов и посмотрите как действует оператор на произвольный вектор.

[Dosaev]

Увеличивает первые две координаты вектора в 3 раза, о третью в 2. И? По-моему это будет то же пространство.

[lena7]

Пространство, ежу ясно, никуда не денется. Вам был нужен геометрический смысл преобразования. Вы его узнали. Только выразить его лучше более геометрическим бытовым языком.

[Dosaev]

Согласен, ежу это ясно. Но как назвать это одним словом: проектированием, отражением, ...?

[lena7]

Значит не поняли. Возьмите листочек. Нарисуйте вектор и подействуете вашим преобразованием. Что с ним стало? (Для простоты советую взять вместо трёхмерного двумерное пространство.) Можете нарисовать фигурки геометрические различные и подействовать на них (каждой их точке соответствует вектор), например квадрат. Что с ними становится?

[Dosaev]

Вроде гомотетия получается.

[lena7]

Это только если все координаты увеличиваются в одинаковое число раз. У вас не так.

Что станет с кубом, стороны которого сонаправлены с собственными векторами?

[Dosaev]

Превратится в параллелепипед.

[lena7]

Вот. Был куб со стороной 1, стал параллелепипед $3\times 3\times 2$. Значит, что с ним сделали? Куб резиновый.

[Dosaev]

Сжали.
Все ясно! Очень доходчиво объяснили! Спасибо.

[svv]

А не точнее будет в данном случае сказать "растянули"?

[Dosaev]

Возможно.

[BVR]

А первые-то два собственных вектора могут быть неортогональными. Так что это что-то вроде косого сжатия.

[lena7]

Так скалярного умножения и не задано. Просто сжимаем вдоль собственных векторов.