Траектория перехвата

[Ice_Harley]

Мяч движется равномерно и прямолинейно со скоростью $V$. Игрок находится на расстоянии $L$ от прямой, по которой движется мяч и на расстоянии $S$ от мяча. Скорость игрока в момент времени $t$ определяется формулой:
$U_t=U_{t-1}a+c$, где $a$ и $c$ - известные коэффициенты.
Нужно определить направление в котором следует двигаться игроку, чтобы перехватить мяч за наименьшее время.


Пока я смог определить минимальную среднюю скорость игрока, при которой он вообще сможет перехватить мяч. Для этого удобно рассмотреть систему отсчета связанную с мячом. В ней мяч стоит на месте, а игрок движется со скоростью $V$ в обратную сторону. С точки зрения мяча игроку следовало бы двигаться так, чтобы все время находиться на прямой $S$, соединяющей положения игрока и мяча. Это значит, что вектор скорости игрока должен лежать на этой прямой. Существует бесконечное множество векторов, дающих в сумме со скоростью движения $V$ вектор, лежащий на S. Однако кратчайшим (т.е. соответствующим минимальной скорости) будет вектор $U$, перпендикулярный к прямой $S$.
Из подобия прямоугольного треугольника, образованного векторами $V$ и $U$, треугольнику, образованному прямыми $L$, $S$ и траекторией мяча, находим величину минимальной скорости:
$U=V\frac{L}{S}$.
При этом игроку нужно будет бежать под углом $\alpha=\arcsin{\frac{L}{S}}$ к перпендикуляру к траектории.

А как определить направление, когда игрок движется со своей скоростью пока не понимаю. Прямоугольных треугольников тогда не будет.

[ewert]

Ice_Harley в сообщении #564827 писал(а):

Скорость игрока в момент времени $t$ определяется формулой:
$U_t=U_{t-1}a+c$, где $a$ и $c$ - известные коэффициенты.

Вовсе не определяется. Во-первых, не задано начальное значение. Во-вторых, даже если его задать -- всё равно количество решений этого уравнения будет бесконечным.

[Ice_Harley]

ewert в сообщении #564830 писал(а):

Ice_Harley в сообщении #564827 писал(а):

Скорость игрока в момент времени $t$ определяется формулой:
$U_t=U_{t-1}a+c$, где $a$ и $c$ - известные коэффициенты.

Вовсе не определяется. Во-первых, не задано начальное значение. Во-вторых, даже если его задать -- всё равно количество решений этого уравнения будет бесконечным.

Давайте примем начальное значение равным нулю. Думаю, я смогу самостоятельно учесть начальную скорость игрока в решении задачи, если это решение будет найдено.
А почему количество решений бесконечно? Для каждого момента времени определена скорость: $U_1=c$, $U_2=ca+c$ и т.д.
Наверное нужно упомянуть, что время дискретно, то есть первую единицу времени игрок двигается со скоростью $U_1$, вторую - со скоростью $U_2$.

[Ice_Harley]

Хорошо, давайте еще упростим: пусть игрок движется с постоянной скоростью $U$. Под каким углом в этом случае ему идти, чтобы встретиться с мячом как можно раньше?

Моя идея: посчитать время, за которое игрок дойдет до траектории мяча по прямой $t_{p}=\frac{L}{U}$. Мяч, за это же время пройдет путь $Vt_{p}$. Разницу в положениях игрока и мяча разделить пропорционально их скоростям. Точка раздела и будет той точкой, в которую нужно идти игроку.
Правильно?

Есть ли способ перейти обратно от равномерного движения к данной формуле скорости?

[Zai]

Если начальная скорость перехватчика равна нулю, то он должен ускоряться по вектору линии движения мяча с нулевой скоростью приближения к линии движения мяча. Как только станет ясно что он может опоздать с приближением к цели перехвата, все ускорение нужно направлять в направлении приближения к линии движения мяча.

[Ice_Harley]

Zai в сообщении #565855 писал(а):

Если начальная скорость перехватчика равна нулю, то он должен ускоряться по вектору линии движения мяча с нулевой скоростью приближения к линии движения мяча. Как только станет ясно что он может опоздать с приближением к цели перехвата, все ускорение нужно направлять в направлении приближения к линии движения мяча.

Спасибо за ответ. Разрешите попросить уточнить парочку непонятных мне моментов:
1. Если перехватчик будет идти сначала по одному катету, а потом по второму - это в любом случае займет больше времени, чем если бы он сразу пошел по гипоненузе. Значит он перехватит мяч не за наименьшее время.
2. Каким именно образом выяснять что перехватчик может опоздать к цели?

[Zai]

1. Вероято, но не очевидно, Ваша прямолинейная траектория и есть Ваше оптимальное решение.
2. Для начала запишите в дифференциальной форме Ваши соотношения.