Как решить неравенство?

[larkova_alina]

Как решить неравенство?
$\ln\left(x+1\right)\geq x.$

[ewert]

Через выпуклость логарифма.

[larkova_alina]

ewert в сообщении #565765 писал(а):

Через выпуклость логарифма.

$\frac{d\ln\left(x+1\right)}{dx}=\frac{1}{x+1}.$
То есть производная логарифма монотонно убывает. Это значит, что график функции $f(x)=\ln(x+1)$ будет целиком лежать по одну сторону от касательной в любой точке.
А $g(x)=x$ - есть касательная к $f(x)$ в точке $x=0$. Следовательно решением исходного уравнения является $x=0$.
Нигде не напортачила?

[ewert]

Правильно.

[spaits]

Обязательно так строго?

[larkova_alina]

spaits в сообщении #565782 писал(а):

Обязательно так строго?

А как нестрого?

[spaits]

Можно использовать разложение функции в степенной ряд.
Тогда не надо подбирать точку, где выполняется равенство.

[ewert]

spaits в сообщении #565856 писал(а):

Можно использовать разложение функции в степенной ряд.

Нельзя -- в силу знакочередования это даст неравенство лишь в окрестности нуля.

И уж тем более не нужно.

[spaits]

Ряд сходится на интервале $[-1;1]$, а не только в окрестности нуля.

-- Пн апр 30, 2012 15:09:28 --

Ваше решение строгое, только одно возражение - точка, где выполняется равенство, подбирается.
Ну а сумма знакопеременного ряда, который сходится и у которого первый член отрицателен, отрицательна. В интервале сходимости ряда.

-- Пн апр 30, 2012 15:12:50 --

При помощи ряда можно найти точку, в которой выполняется равенство, $x=0$. И это не подбор.

[arseniiv]

(2 spaits.)

spaits в сообщении #565860 писал(а):

только одно возражение - точка, где выполняется равенство, подбирается

Это же очевиднее очевидного!

Есть куча доказательств, где такой подбор намного менее понятен.

[spaits]

arseniiv в сообщении #565880 писал(а):

(2 spaits.)

spaits в сообщении #565860 писал(а):

только одно возражение - точка, где выполняется равенство, подбирается

Это же очевиднее очевидного!

Есть куча доказательств, где такой подбор намного менее понятен.

(Оффтоп)

Ну, очевидно. Но почему нельзя при помощи ряда найти это значение, если так принципиально придерживаться строгости.
Тогда построил графики функций и шуруй. Всё очевидно.

[PAV]

(Оффтоп)

spaits в сообщении #565900 писал(а):

Тогда построил графики функций и шуруй. Всё очевидно.

Да, очевидно. Но это учебная задача, направленная на овладение техникой проведения подобных строгих доказательств.

[ewert]

spaits в сообщении #565860 писал(а):

Ряд сходится на интервале $[-1;1]$, а не только в окрестности нуля.

Пусть себе сходится где угодно. Мы ведь без сверхусилий не сможем оценить суммуряда, а нужна именно она.

Кроме того: даже когда оценим -- вопрос за пределами промежутка останется открытым.

Кроме того: соображения выпуклости -- гораздо проще, чем теория рядов.

Кроме того: вообще занудство (в данном случае) с этими рядами.

PAV в сообщении #565914 писал(а):

Да, очевидно.

Нет, неочевидно. Построение графиков на основании рядов -- это противоестественное извращение.

[spaits]

ewert в сообщении #565920 писал(а):

Построение графиков на основании рядов -- это противоестественное извращение.

Вы не поняли, я не предлагала строить график при помощи рядов.
Вдохновившись Вашей строгостью, я предложила при помощи рядов сторого найти точку, в которой выполняется равенство, а также доказать, что в других точках интервала $[0;1]$ неравенство не выполняется.

ewert в сообщении #565920 писал(а):

Кроме того: даже когда оценим -- вопрос за пределами промежутка останется открытым.

Это да. Но там графики уже сильно расходятся. Надо подумать, как доказать, что неравенство не выполняется. И ряды, и выпуклость - для студентов.
Но такие задачи бывают на ЕГЭ. Ряды не проходили, понятие выпуклости не во всех школах дают.
Не посоветуете ли, как школьнику решить данную задачу?

[ewert]

spaits в сообщении #565934 писал(а):

я предложила при помощи рядов сторого найти точку, в которой выполняется равенство,

Напрасно: эта точка не может найтись -- может лишь угадаться, и притом задолго до рядов. Ведь ряд может рассматриваться лишь относительно некоторой конкретной точки, которую конкретно нужно угадывать; а как её угадаешь, если не угадывать?... Для гаданий же ряды абсолютно бесполезны.

spaits в сообщении #565934 писал(а):

Надо подумать, как доказать, что неравенство не выполняется.

Не надо думать. Исключительно через производные. Которые, между прочим, гораздо первичнее рядов.

spaits в сообщении #565934 писал(а):

Но такие задачи бывают на ЕГЭ.

Не надо клеветать. Среди егэшников, конечно, идиоты встречаются. Наверное, и на эту тему тоже. Но я лично не припомню.