Последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$

[xmaister]

Профессор Снэйп в сообщении #565441 писал(а):

С непрерывной $f$ и дополнительным условием $x_{n+1} - x_n \to 0$

Вот как я понял решение этой задачи:
Пусть $\varepsilon >0$ такое, что $\varepsilon$-окрестности точек $a,x,b$ не пересекаются. Для этого $\varepsilon$ подберём $N$, такое что для любого $n>N$ $|x_{n+1}-x_n|<\frac{\varepsilon}{2}$. Выберем такие $k,m$, что $x_k\in U_a$, $x_m\in U_b$, $N<k<m$. Пусть для любого $l, k<l<m$ $x_l\not\in U_x$. Разбиваю множество натуральных из $[k,m]$ на два подмножества, для одного из которых все $x_l$ лежат левее $U_x$, для другого- правее. Тогда существует $s$, такое что $x_{s}<x-\varepsilon$, $x_{s+1}>x+\varepsilon$. Дейтвительно, разбиваем множество натуральных в отрезке $[k,m]$ на 2 подмножества $A$ и $B$. $A$ состоит из чисел $s$, для которых $x_s$ лежит левее $x-\varepsilon$. $A$ не пусто. $B$ не пусто, т.к. $\limsup x_n$- предельная точка. Предположим что не существует такого $s$, что $x_{s}<x-\varepsilon$, $x_{s+1}>x+\varepsilon$. Тогда т.к. $x_k<x-\varepsilon$, то по предположению, что $U_x$ не содержит $x_t$, при $k<t<m$, получаем, что $k+1\in A$. Пусть $k<l<m, l\in A$, тогда $x_{l+1}\in A$. Это означает, что для любого $k<l<m$ следует, что $l\in A$, Значит $B$- пусто. Противоречие. Но этого не может быть, т.к. из $|x_{n+1}-x_n|<\frac{\varepsilon}{2}$ следует, что $x_{s+1}<x-\varepsilon$. Т.к. любая точка отрезка $[\liminf x_n,\limsup x_n]$ предельная, то существует $n_0\in\mathbb{N}$, такое что $x_{n_0}\in [\liminf x_n,\limsup x_n]$ и подпоследовательность $x_{n_k}\to x_{n_0}$. Тогда $f(x_{n_k})\to f(x_{n_0})=x_{n_0+1}$ в силу непрерывности $f$. Т.к. $f(x_{n_k})=x_{n_k+1}=x_{n_k}+o(1)\to x_{n_0}$ в силу стремления к нулю шага, то в силу единственности предела сходящейся подпоследовательности $f(x_{n_k})$ получаем, что $x_{n_0+1}=x_{n_0}$. Пусть $x_{n_0+k}=x_{n_0}$ для некоторого $ k\in\mathbb{N}$, тогда $x_{n_0+k+1}=f(x_{n_0+k})=f(x_{n_0})=x_{n_0+1}=x_{n_0}$. Это означает, что начиная с $n_0$ последовательность стабилизируется, т.е. будет сходящейся к $x_{n_0}$ но это противоречит предположению о том, что $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ имеет 2 или более различных предельных точек.

[g______d]

Профессор Снэйп в сообщении #565414 писал(а):

g______d в сообщении #565410 писал(а):

Теперь посмотрим на предельную точку $y$ нашей последовательности и произвольную ее окрестность. Эта окрестность слева и справа от $y$ содержит либо точку $U$, либо интервал, на котором $f(x)=x$.

Вот это непонятно.

$U=\{x\colon f(x)\neq x\}$

Я забыл изначально предположить, что все время $x_n\in U$ (иначе доказывать нечего).

Пусть есть окрестность $(y-\varepsilon;y+\varepsilon)$. Если на промежутке $(y-\varepsilon;y)$ есть точка $U$, то берем её. Если нет, то на всем интервале $(y-\varepsilon;y)$ выполняется $f(x)=x$. Аналогично для $(y;y+\varepsilon)$.

Если $y$ случайно оказалось на границе области определения функции, то нам нужно условие только с одной стороны.

[ewert]

g______d в сообщении #565410 писал(а):

Ловите липу (если она есть).

Если я правильно понял, речь о монотонном варианте задачи. Тогда монотонность (и, следовательно, сходимость) следует просто из того, что множества $\{x:\;f(x)>x\}$ и $\{x:\;f(x)<x\}$ открыты и, следовательно, каждое из них состоит из непересекающихся интервалов (с возможным присоединением к граничным интервалам соответствующих концов отрезка, т.е. открыты в топологии $[a;b]$). И если начальная точка последовательности попадёт в один из этих интервалов, то вся последовательность из него уже не выйдет: например, для множества $\{x:\;f(x)>x\}$ каждая следующая точка будет правее предыдущей, но (в силу монотонности функции) левее правой границы этого интервала, который совпадает со значением функции в этой границы или с правой границей всего отрезка.

(не знаю, было ли уже это -- перечитать все пять страниц не в силах)

[g______d]

ewert в сообщении #565847 писал(а):

g______d в сообщении #565410 писал(а):

Ловите липу (если она есть).

Если я правильно понял, речь о монотонном варианте задачи.

Нет, где я использовал монотонность? Я говорил, что если в некоторой точке $f(x)\neq x$, то в некоторой ее окрестности $f(x)$ отделена от $x$. Поэтому, если размер прыжка достаточно маленький, мы не сможем ни попасть в точку этой окрестности (т. к. во всех точках этой окрестности прыжок должен быть достаточно большим), ни перепрыгнуть эту окрестность (т. к. у нее некоторый фиксированный диаметр), и, значит, будем оставаться по одну сторону от нее. И так для каждой точки с таким свойством.

Впрочем, Ваше решение проще. Действительно, есть известный простой факт, что если $x_{n+1}-x_n\to 0$ и $\forall n$ $x_n\in[a,b]$, то множество всех предельных точек последовательности $x_n$ является отрезком.