Доказательство простых утверждений

[integral2009]

Если утверждение верное - обосновать его. Если неверное, то привести контр-пример.

1) Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб — квадрат.
2) Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех
его вершин.
3) Сумма углов треугольника не превышает 180
4) Если сторона и три угла одного треугольника равны стороне и трем углам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
5) Существует треугольник, все высоты которого пересекаются в одной из
его вершин

1) Как тут можно сделать? Была идея записать Площадь ромба $S=a^2\sin\varphi=x^2\sin\alpha$

$a$ - сторона ромба

$x$ - длина диагонали

$\alpha$ - угол между диагоналями

$\varphi$ - угол между сторонами.

Нам нужно по идее доказать, что $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$. Но как?

2) По построению очень похоже. Для острых углов очевидно. Но как доказать, что расстояние от центра гипотенузы до вершины прямого угла равно половине гипотенузы?

3) Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, так что верно

4) Вроде как по стороне и прилежащим у ней углам - выполняется равенство.

5) Этот треугольник - точка?

[Dan B-Yallay]

1) Ромб. Почитайте свойства.
2) Проведите обе высОты из середины гипотенузы.
5) Разрежьте квадрат по диагонали и рассмотрите треугольник.

[Maslov]

integral2009 в сообщении #564750 писал(а):

4) Вроде как по стороне и прилежащим у ней углам - выполняется равенство.

А где в условии сказано про сторону и прилежащие углы?
Рассмотрите, например, прямоугольные треугольники со сторонами $1, 1, \sqrt 2$ и $\sqrt 2, \sqrt 2, 2$.

[integral2009]

Dan B-Yallay в сообщении #564756 писал(а):

1) Ромб. Почитайте свойства.
2) Проведите обе высОты из середины гипотенузы.
5) Разрежьте квадрат по диагонали и рассмотрите треугольник.

1) А какие именно свойства посмотреть. Да, ромб является параллелограммом, диагонали перпендикулярны. Но это еще ни о чем не говорит мне(
2) Равноудалены от вершин, а не от сторон...Еще ведь нужно доказать ,что высоты, опущенные из центра гипотенузы упадет на середины катетов. А это доказательство и будет доказательством равноудаленности, но пока что не очевидно - как это сделать..
5) Спасибо, понятно, что-то затупил...

-- Сб апр 28, 2012 01:12:03 --

Maslov в сообщении #564759 писал(а):

integral2009 в сообщении #564750 писал(а):

4) Вроде как по стороне и прилежащим у ней углам - выполняется равенство.

А где в условии сказано про сторону и прилежащие углы?
Рассмотрите, например, прямоугольные треугольники со сторонами $1, 1, \sqrt 2$ и $\sqrt 2, \sqrt 2, 2$.

Спасибо, понятно) А еще можно как-то это более строго обосновать, кроме контр-примера?)

[Maslov]

integral2009 в сообщении #564762 писал(а):

А еще можно как-то это более строго обосновать, кроме контр-примера?)

Так контрпример -- это абсолютно строгое доказательство ложности некоторой формулы: $\neg (\forall x) (P(x)) \equiv (\exists x)(\neg P(x))$.

Ну а если на пальцах, то понятно, что неравносторонний треугольник можно раздуть (увеличить при сохранении углов) таким образом, что меньшая сторона станет по длине такой, как раньше была большая.

[integral2009]

Maslov в сообщении #564764 писал(а):

integral2009 в сообщении #564762 писал(а):

А еще можно как-то это более строго обосновать, кроме контр-примера?)

Так контрпример -- это абсолютно строгое доказательство ложности некоторой формулы: $\neg (\forall x) (P(x)) \equiv (\exists x)(\neg P(x))$.

Ну а если на пальцах, то понятно, что неравносторонний треугольник можно раздуть (увеличить при сохранении углов) таким образом, что меньшая сторона станет по длине такой, как раньше была большая.

Точно, спасибо

-- Сб апр 28, 2012 01:39:40 --

Вообщем остались только первые два пункта, которые не понятны...

[hippie]

integral2009 в сообщении #564767 писал(а):

Вообщем остались только первые два пункта, которые не понятны...

integral2009 в сообщении #564750 писал(а):

1) Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб — квадрат.

Если в ромбе диагонали равны, то его вершины лежат на окружности, с центром в точке пересечения диагоналей. А диагонали являются диаметрами этой окружности.

integral2009 в сообщении #564750 писал(а):

2) Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Средняя линия прямоугольного треугольника, параллельная одному из катетов, одновременно является серединным перпендикуляром ко второму катету.

[Dan B-Yallay]

Цитата:

2) Равноудалены от вершин, а не от сторон...Еще ведь нужно доказать ,что высоты, опущенные из центра гипотенузы упадет на середины катетов. А это доказательство и будет доказательством равноудаленности, но пока что не очевидно - как это сделать..

согнИте вдоль высОт. Может натолкнет на какую мысль

[Shadow]

Окружность, описанная около прямоуг. треугольника. Где ее центр? Какой у нее радиус?

[Евгений Машеров]

1. Рассмотрите все треугольники, образованные каждый двумя сторонами и диагональю. Они, очевидно, равны. Равны и углы между сторонами. Сумма углов четырёхугольника 360 градусов, следовательно - квадрат.
2. Постройте окружность с центром в середине гипотенузы. (Это, кстати, старая шутка - "Спорим, что я циркулем и линейкой за минуту построю 20 прямоугольных треугольников!")
3. Верное. Если величины равны - значит, "меньше или равно" тоже выполняется.
4. Неверное. Чтобы оно было верное, надо указать, например, что равны стороны, противолежащие равным углам треугольников.
Контрпример: два подобных (углы равны, очевидно) неравносторонних (важно!) треугольника, размеры которых взяты так, что меньшая сторона одного равна большей стороне другого.
5. Да. Прямоугольный. Две высоты - катеты, пересекаются в вершине, противолежащей гипотенузе, третья из этой вершины опущена.

[AnDe]

2) Смотрите раз мы берем середину одной стороны, то ясно что эта точка равноудалена от вершин принадлежащих этой стороне. Теперь соединим оставшуюся вершину и эту точку(медиану построим). Воспользуемся теоремой о том, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. Если предположить, что эта медиана больше половины гипотенузы, то выходит, что сумма острых углов треугольника больше прямого, и аналогично, если предположить, что медиана меньше половины гипотенузы. Значит медиана равна половине гипотенузы и наша точка равноудалена от всех вершин.

[spaits]

AnDe в сообщении #565072 писал(а):

Если предположить, что эта медиана больше половины гипотенузы, то выходит, что сумма острых углов треугольника больше прямого, и аналогично, если предположить, что медиана меньше половины гипотенузы. Значит медиана равна половине гипотенузы и наша точка равноудалена от всех вершин.

Красивое решение.

[AnDe]

spaits
Значит в стандартном школьном учебнике по геометрии еще встречаются красивые решения)

[spaits]

AnDe
Конечно, встречаются. И Вы нашли его.