Символы Кристоффеля и связность

[Бабай]

Здравствуйте!

Кто-нибудь может, пожалуйста, с ходу сказать, почему в (координатном) доказательстве существования и единственности симметричной и согласованной с метрикой связности на римановом многообразии у символов Кристоффеля по умолчанию поднимают и опускают индексы, а также (циклически) переставляют индексы…в общем почему с ними вообще обращаются как с тензорами, хотя они таковыми не являются?

И вообще выглядит очень странно, что согласованность с метрикой говорит, что ковариантная производная, т.е. по сути частная производная метрики как функции координат, равна нулю, тогда как в итоге выражение для символов Кристоффеля как раз состоит из этих же частных производных! Как такое возможно?

Кроме того, само доказательство (независимо от источника…видел в разных книжках) начинается с "допустим, что связность существует", и при этой предпосылке доказывается единственность, а потом доказывается существование, причём это делается по принципу "мы просто можем записать символы Кристоффеля через метрический тензор"…то есть создаётся впечатление, что единственность доказывается через существование и наоборот, т.е. аналитически…да даже аналитически трудно назвать…но уж никак не синтетически!…если Вы меня понимаете. Но я ещё не встречал такого доказательства, которое оставило бы во мне столько сомнений относительно метода! Это первое такое!

Кто-нибудь может просветить меня по этому поводу? Что здесь происходит?

Буду очень благодарен.

Спасибо

[Munin]

Бабай в сообщении #564833 писал(а):

Кто-нибудь может, пожалуйста, с ходу сказать, почему в (координатном) доказательстве существования и единственности симметричной и согласованной с метрикой связности на римановом многообразии у символов Кристоффеля по умолчанию поднимают и опускают индексы, а также (циклически) переставляют индексы…в общем почему с ними вообще обращаются как с тензорами, хотя они таковыми не являются?

"Символы Кристоффеля тензорами не являются" означает, что они не образуют тензорные поля, то есть операции интегрирования и дифференцирования для них дают другие результаты, чем для тензоров, и при изменении сетки координат они ведут себя иначе.

Но в каждой точке символы Кристоффеля образуют тензорные величины, с ними можно работать как с тензорами, если ограничиваться алгебраическими операциями, и даже можно рассматривать преобразования локального базиса (репера), и соответствующие преобразования компонент этих символов.

Бабай в сообщении #564833 писал(а):

И вообще выглядит очень странно, что согласованность с метрикой говорит, что ковариантная производная, т.е. по сути частная производная метрики как функции координат

Нет, ковариантная производная - это не "по сути частная производная". Между ними есть разница, ради которой, собственно, символы Кристоффеля и вводятся. Научитесь чётко отличать одно от другого.

Бабай в сообщении #564833 писал(а):

ковариантная производная, т.е. по сути частная производная метрики как функции координат, равна нулю, тогда как в итоге выражение для символов Кристоффеля как раз состоит из этих же частных производных! Как такое возможно?

Как раз из этого равенства нулю и можно получить выражение для символов Кристоффеля из частных производных. Схема такая:

Ковариантная производная = частная производная + ещё что-то.
Ковариантная производная = 0.

Получается,

Частная производная = - это самое ещё что-то.

Дальше из левой части выражается правая, и как раз получается выражение символов Кристоффеля через частные производные от метрики. В частности, именно так это выражение выводится в ЛЛ-2 и в МТУ упр. 8.15.

Бабай в сообщении #564833 писал(а):

Кроме того, само доказательство (независимо от источника…видел в разных книжках) начинается с "допустим, что связность существует", и при этой предпосылке доказывается единственность, а потом доказывается существование

Боюсь, тут какая-то путаница. Приведите в качестве примера конкретную книжку. Тогда разберём, что в ней написано.

-- 28.04.2012 12:39:02 --

Маленький совет. В ОТО принято писать ковариантые и частные производные через точку с запятой и запятую. Это малозаметные обозначения, и пока вы к ним не привыкнете, можете путаться. Есть другой вариант обозначений (взятый из КТП), который вы можете применять по крайней мере у себя в черновиках выкладок: $D_\mu\mathrm{T}\equiv\mathrm{T}_{;\mu}$ и $\partial_\mu\mathrm{T}\equiv\mathrm{T}_{,\mu}.$ Это поможет чётче видеть и сами производные, и разницу между ними, и не сбиваться.

[Oleg Zubelevich]

Бабай в сообщении #564833 писал(а):

у символов Кристоффеля по умолчанию поднимают и опускают индексы

не хотите опускать не опускайте, это чисто формальная процедура, все доказательство проходит и без этого

Бабай в сообщении #564833 писал(а):

а также (циклически) переставляют индексы…

считайте, что не переставляют, а рассматривают три уравнения изз системы

Бабай в сообщении #564833 писал(а):

ковариантная производная, т.е. по сути частная производная

ковариантная производная, это не частная производная, а компонента тензора, этот тензор и приравнивается к нулю.

Бабай в сообщении #564833 писал(а):

Кроме того, само доказательство (независимо от источника…видел в разных книжках) начинается с "допустим, что связность существует", и при этой предпосылке доказывается единственность, а потом доказывается существование, причём это делается по принципу "мы просто можем записать символы Кристоффеля через метрический тензор"

возьмите выражение для символов Кристоффеля через метрику и подставьте в уравнение $\nabla_kg_{ij}=0$ и получите тождество -- это доказывает существование указанной связности. На саму выкладку из которой получаются выражения для символов Кристоффеля через метрику надо смотреть как на доказтельство единственности симметричной связности согласованной с метрикой.


[

[Бабай]

Спасибо Вам, Munin за пояснения!

Да, у меня была такая мысль, что здесь есть малозаметная разница между тензорами как таковыми и величинами, допускающими применение тензорных операций, но это конечно нигде явно не оговаривалось. Кроме того символы Кристоффеля просто напрашиваются как-то быть каким-то "полем", т.к. по сути это функции от х, определяющие связность. Но понятно, что у них есть хвост из вторых частных производных, который всё портит, хотя при этом ковариантная производная тензорного поля оказывается тензором.

Я всё ещё сижу с Новиковым и Таймановым "Современные геометрические структуры и поля" (НТ), и параллельно заглядываю в старое издание Дубровина, Новикова, Фоменко, а также в лекции Тайманова. Книжка Милнора "Теория Морса" тоже лежит, но я туда мельком заглядывал…пока не штудировал. В ЛЛ тоже только мельком заглянул. Но во всех схема док-ва основной теоремы кажется одинакова.

В НТ поднятие и опускание индексов определялись для тензоров как таковых, а именно сворачивают $g \otimes T$, где $g$ и $T$, поэтому меня это очень смутило, когда они всё это пустили в ход для символов Кристоффеля.

Кстати, я неясно выразился…я вижу разницу между частной производной и ковариантной. Я просто в тот момент ссылался на само вычисление в доказательстве. Сейчас вот что-то задумался:

Пусть $\nabla_{\partial_k}g_{ij}=0$. Тогда и вдоль любой гладкой кривой $\gamma(t)=(x^1(t),…,x^k(t),…,x^n(t))$ имеем: $\nabla_{\dot{\gamma}}g_{ij}$=0.
Но
$\frac{d}{dt}g_{ij}(\gamma(t))=\dot\gamma\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}=\frac{dx^k}{dt}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}$.
Я в своих записях почему-то дописал $\frac{d}{dt}g_{ij}=\nabla_{\dot\gamma}g_{ij}$, и теперь не могу вспомнить почему. Понятно, из этого выходит, что $\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}=0$, но это уж конечно слишком! Понятно, что в итоге и символы Кристоффеля пропадают. Да, этого не может быть. Ведь это же равносильно тому, что пространство всюду "плоское"! Что-то я совсем запутался.

[Munin]

Уступаю место Oleg Zubelevich и другим отвечающим, я не смогу поддерживать разговор в обозначениях, которые мне мало знакомы, и по математической (а не физической) литературе. Разве что, я думал, Новиков-Тайманов - это довольно круто, а сначала стоит это по более простым изложениям до очевидности разобрать.

Разница между "тензором в точке" и "тензорным полем", которую я раньше упоминал - это разница между объектом в тензорном произведении касательных и кокасательных пространств над точкой пространства, и касательных и кокасательных расслоений над всем пространством.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #564865 писал(а):

Но в каждой точке символы Кристоффеля образуют тензорные величины

тензорные величины, Munin, это термин, который зарезервирован за понятием, которое вам судя по всему, не известно. Символы Кристоффеля тут нипричем

Munin в сообщении #564865 писал(а):

с ними можно работать как с тензорами, если ограничиваться алгебраическими операциями, и даже можно рассматривать преобразования локального базиса (репера), и соответствующие преобразования компонент этих символов.

эта абра-котабра, в лучшем случае, выражает следующий(стандартный) факт: символы Кристоффеля преобразуются как тензоры при линейных заменах локальных координат и только при них

[Бабай]

Так, Народ, не пугайте! Теперь я и впрямь ничего не понимаю! Так что же тогда на самом деле символ Кристоффеля?…Что в нём такого, что позволяет производить над ним тензорные операции?!

По сути ведь $\nabla_{\partial_j}\partial_i=\Gamma^k_{ij}\partial_k$ есть компонента тензора -- ковариантная производная единичного векторного поля. Это же (0,2)-тензор. Это же свёртка, так?

Опять, это всё для тензоров…ведь свёртка должна преобразовываться как тензор…это свойство же даже проверяют отдельно от определения. Но Гамма не есть тензор! Что за игра без правил? Я готов с этим всем смириться, но Вы мне объясните пожалуйста, почему на такое использование символов Кристоффеля у нас есть полное право?!

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #564951 писал(а):

эта абра-котабра

Знаете, в чём между нами разница? Вы говорите всё правильно, а я стараюсь помочь :-)

Бабай в сообщении #564968 писал(а):

Так, Народ, не пугайте! Теперь я и впрямь ничего не понимаю! Так что же тогда на самом деле символ Кристоффеля?…Что в нём такого, что позволяет производить над ним тензорные операции?!

Когда у нас на многообразии задана координатная сетка (или даже на касательном расслоении поле реперов), то символы Кристоффеля - это просто набор функций. И тензорные поля - тоже набор функций. Когда мы меняем координатную сетку, символы Кристоффеля меняются одним образом, тензорные поля - другим. Когда не меняем - с ними можно обращаться как с функциями, складывать, умножать, и т. п. - что приводит к "поднятиям индексов", "свёрткам" и т. п.

Бабай в сообщении #564968 писал(а):

По сути ведь $\nabla_{\partial_j}\partial_i=\Gamma^k_{ij}\partial_k$ есть компонента тензора -- ковариантная производная единичного векторного поля. Это же (0,2)-тензор. Это же свёртка, так?

Когда вы её записали как конкретный набор функций - то да, это тензор. Но обратите внимание, если вы перейдёте к другой системе координат, символ $\partial_k$ не будет преобразовываться как тензор - он вместо этого поменяет смысл, и будет означать единичные векторные поля нового базиса. А свёртка останется той же самой - это тензор. Значит, и второй сомножитель должен "испортиться".

[Бабай]

Понятно... то есть скажем так...это утилизация некой весьма полезной аналогии. Ну тогда мне кажется нецелесообразным сначала вводить определения свёртки и т.д. как операции на тензорах, т.е. явно требовать чтобы определение делалось через компоненты тензоров, а потом распространять всё это по аналогии на другие вещи. Это нечестно и путаёт…по крайней мере меня! Похоже, что нужно просто привыкнуть. Ну ладно…спасибо…будут ещё вопросы, допишу сюда.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #565021 писал(а):

Бабай в сообщении #564968 писал(а):
По сути ведь $\nabla_{\partial_j}\partial_i=\Gamma^k_{ij}\partial_k$ есть компонента тензора -- ковариантная производная единичного векторного поля. Это же (0,2)-тензор. Это же свёртка, так?

Когда вы её записали как конкретный набор функций - то да, это тензор.

Вам Munin
следует знать, что $\nabla_{\partial_j}\partial_i$ это не $(0,2)$ тезор и вообще не тензор, а набор векторных полей индексированный парой индексов $i,j$

[Munin]

Бабай
Ну, да, тут надо тогда геометрический смысл вводить отдельно.

Но.
Если начинать с геометрического смысла, то получается, что символов Кристоффеля как символов (с индексами) вообще нет, а есть такой абстрактный объект, как "связность", смысл которого - осуществлять параллельный перенос векторов вдоль линий. И ещё абстрактный объект "производная Ли", который вообще любое векторное поле позволяет интерпретировать как взятие некоторой производной. Это всё тоже довольно сложно понять с наскоку, может быть.

Oleg Zubelevich в сообщении #565049 писал(а):

Вам Munin следует знать

Хорошо-хорошо, уговорили, мне следует знать.

-- 28.04.2012 17:50:49 --

Munin в сообщении #565051 писал(а):

а есть такой абстрактный объект, как "связность"

Я себе связность (аффинную, связность Леви-Чивита, связность на касательном расслоении) представляю себе так: пусть мы выходим из некоторой точки в некотором направлении. И дальше наш путь "по прямой" этим направлением уже детерминирован, мы дальше едем как по рельсам, не можем свернуть никуда. Дальше, мы можем такими "рельсами" пронизать всё многообразие, провести их через каждую точку во всех возможных направлениях. И назвать их "геодезическими". Этим структура геодезических на гладком многообразии будет задана полностью, и она не требует никаких расстояний, никакой метрики. То есть, может быть задана независимо от метрического тензора. Но в случае риманова многообразия мы жёстко увязываем эту геометрическую структуру с другим понятием "геодезической" - с линиями, дающими локально кратчайшие расстояния между точками, то есть проведёнными по метрике. Это даёт нам формулу для связи символов Кристоффеля с метрическим тензором. А в неримановом случае - мы можем от этой связи освободиться.

[Бабай]

Oleg Zubelevich в сообщении #565049 писал(а):

Munin в сообщении #565021 писал(а):

Бабай в сообщении #564968 писал(а):
По сути ведь $\nabla_{\partial_j}\partial_i=\Gamma^k_{ij}\partial_k$ есть компонента тензора -- ковариантная производная единичного векторного поля. Это же (0,2)-тензор. Это же свёртка, так?

Когда вы её записали как конкретный набор функций - то да, это тензор.

Вам Munin
следует знать, что $\nabla_{\partial_j}\partial_i$ это не $(0,2)$ тезор и вообще не тензор, а набор векторных полей индексированный парой индексов $i,j$

Это частный случай для (в компонентах) $\nabla_j T^i=\frac{\partial T^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}T^k$. Вы хотите сказать, что это тоже никакой не тензор (с которым ассоциируется данный набор)?

[apriv]

Кстати, подскажите книгу по дифференциальной геометрии, в которой нету «символов Кристоффеля», «формул Френе» и прочих радостей координатного подхода в духе «тензор — это набор чисел, преобразующийся по следующим правилам».

[Бабай]

Спешу Вас разочаровать. Таких книг не существует в природе! Координатный способ изложения -- это то, с чего нужно начинать…и чего думаю будет вообще вполне достаточно для понимания…главное здесь разобраться. Координаты всегда будут присутствовать за кулисами. Другое дело, что это всё можно заформализовать. Не советую Вам начинать, например, с Номидзу "Основы дифференциальной геометрии". Это просто "геометрический бурбакизм", хотя Вы там и не найдёте формул Френе равно как и наглядных картинок или чертежей!

[apriv]

Бабай в сообщении #565187 писал(а):

Координатный способ изложения -- это то, с чего нужно начинать…

Я в этом совершенно не уверен. «Номидзу» — это Kobayashi—Nomizu, Foundations of Differential Geometry? Спасибо, посмотрю.