Миловидный дифур

[Ktina]

Решить дифференциальное уравнение $y'=x+\frac{x^3}{y}$

[Praded]

$y=x^2+C$

[Ktina]

Praded в сообщении #564178 писал(а):

$y=x^2+C$

Вы поторопились. Есть и другие решения.
Например, $y=-\frac{1}{2}x^2$.
Но и это ещё не всё.

[3.14]

Может сделать так, при условии, что $x \neq 0$ :

$$ y' = x + \frac {x^3} {y}$$ $$ \frac {y} {x} y' = y + x^2$$ $$ u(x) = \frac y x $$

Тогда, если я не ошибся в вычислениях, имеем :

$$ u' =\frac {xu + x^2 - u^2} {xu} $$

А это, вроде, однородное..

[venco]

Ещё решение:
$1-3y^2+2y^3=\frac{C}{x^6}$
В радикалах писать лень.

[ewert]

Praded в сообщении #564178 писал(а):

$y=x^2+C$

Это не решение (вообще говоря).

3.14 в сообщении #564206 писал(а):

Тогда, если я не ошибся в вычислениях, имеем :

$$ u' =\frac {xu + x^2 - u^2} {xu} $$

А это, вроде, однородное..

Не ошиблись, но проделали лишнюю работу. Раз однородное, то для него понадобится ровно та же подстановка, что и предыдущая. Ну так и надо их объединить и с самого начала сделать подстановку $y(x)=x^2v(x)$; тогда

$v'x+2v=1+\dfrac1v;$

$(y-x^2)^2(2y+x^2)=C.$

Ну будут там какие-то кривые; не понимаю, чем они миловидны.

[Ktina]

ewert в сообщении #564427 писал(а):

Praded в сообщении #564178 писал(а):

$y=x^2+C$

Это не решение (вообще говоря).

(Оффтоп)

"Решить" означает найти все решения или доказать, что решений нет. Ответ $y=x^2+C$ соответствует вопросу "найти хотя бы одно решение". Этот ответ можно получить интуитивно, не имея даже понятия о дифурах.

-- 27.04.2012, 09:06 --

ewert в сообщении #564427 писал(а):

$(y-x^2)^2(2y+x^2)=C.$

Это - верный ответ. Общий интеграл данного дифура принимает вид $(y-x^2)^2(2y+x^2)=C$.
При $C=0$ имеем два решения: $y=x^2$ и $y=-\frac{1}{2}x^2$

-- 27.04.2012, 09:07 --

ewert в сообщении #564427 писал(а):

Ну будут там какие-то кривые; не понимаю, чем они миловидны.

(Оффтоп)

На вкус и цвет...

[ewert]

Ktina в сообщении #564446 писал(а):

"Решить" означает найти все решения или доказать, что решений нет. Ответ $y=x^2+C$ соответствует вопросу "найти хотя бы одно решение"

Не соответствует.

[Ktina]

ewert в сообщении #564455 писал(а):

Ktina в сообщении #564446 писал(а):

"Решить" означает найти все решения или доказать, что решений нет. Ответ $y=x^2+C$ соответствует вопросу "найти хотя бы одно решение"

Не соответствует.

Уже поняла.
Просто автоматически проигнорировала константу.