Определение времени движения

[Ice_Harley]

Известна формула, для определения скорости объекта в момент времени $t$:
$\overline{v_t} = \overline{v_0}a^t+\overline{c}\frac{a^t-1}{a-1}$,
где $\overline{v_0}$ - начальная скорость, $a$ - константа, а $\overline{c}$ - вектор направления от начального положения к конечному. Также известны начальное ($\overline{p_0}$) и конечное ($\overline{p_t}$) положения объекта.
Требуется найти $t$, то есть определить сколько времени займет движение из начального в конечное положение.

Не знаю, поможет ли эта информация, но время в задаче дискретно.
В принципе, так как высокая точность не очень важна, задачу можно упростить, предположив начальную скорость совпадающей по направлению с $\overline{c}$, тогда движение получается прямолинейным.
В крайнем случае, можно даже принять начальную скорость равной нулю.

Заранее благодарен за любую оказанную помощь.

[Ilia_]

Свяжем начало координат с точкой $\vec p_0$. Тогда, вам нужно решить дифференциальное уравнение:

$$\dot{\vec r}=\vec v_0 a^t+\vec r \frac{a^t-1}{a-1}$$

С начальным условием $\vec r(0)=0$. Спроецируем это уравнение на ось x. Для простоты обозначим $v_{0x}=b$, $\ln a = q$.

$$\dot x =be^{qt}+x\frac{e^{qt}-1}{e^q-1}\qquad(1)$$

Это обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решаем однородное, разделяя переменные.

$$\frac{d}{dt}\ln x=\frac{e^{qt}-1}{e^q-1}$$

$$\ln (x/C)=\int_0^t\frac{e^{qt'}-1}{e^q-1}dt'=\frac1q\frac{e^{qt}-1-qt}{e^q-1}$$

$$x(t)=C(t)\cdot\exp\left[\frac1q\frac{e^{qt}-1-qt}{e^q-1}\right]$$

Далее поставляете это решение в $(1)$, применяете начальное условие $C(0)=0$, находите $C(t)$. Интеграл аналитически не возьмётся, но численно - без вопросов. Проекции на остальные оси расписываются аналогично.