Последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$

[gris]

А ему придётся бесконечное число раз бывать в каждой из этих точек. Туда-сюда-туда-сюда. А шажочки все мельче. Так что затопчет всё основательно.

[xmaister]

А если $f\in C[a,b]$- не убывающая и положить, что $x_{n+1}=f(x_n)$ имеет 2 предельные точки, то каждая точка отрезка $[\liminf x_n,\limsup x_n]$ тоже будет предельной? Доказать, ни это утверждение, ни предыдущее не понимаю как .

[ewert]

gris в сообщении #564174 писал(а):

А ему придётся бесконечное число раз бывать в каждой из этих точек

только не "в", о "около", а так всё нормально

-- Чт апр 26, 2012 17:23:46 --

xmaister в сообщении #564184 писал(а):

А если $f\in C[a,b]$- не убывающая и положить, что $x_{n+1}=f(x_n)$ имеет 2 предельные точки, то каждая точка отрезка $[\liminf x_n,\limsup x_n]$ тоже будет предельной?

Нет, конечно. Вы же не потребовали, что шаг стремится к нулю. А оно существенно.

[xmaister]

Пусть существует точка $x\in [\liminf x_n,\limsup x_n]$ не являющаяся предельной. Тогда есть $U_x$ содержащая только конечное число точек $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$, не понимаю как это может противоречить стремлению к нулю шага?

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #564220 писал(а):

Пусть существует точка $x\in [\liminf x_n,\limsup x_n]$ не являющаяся предельной. Тогда есть $U_x$ содержащая только конечное число точек $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$, не понимаю как это может противоречить стремлению к нулю шага?

Выпишите определения $\liminf$ и $\limsup$, всё сразу станет понятно.

[xmaister]

Профессор Снэйп, туплю. $X$- множество частичных пределов. Выписываю определение $\liminf x_n=\inf X=a\Leftrightarrow \forall\varepsilon\exists x\in X: x<a+\varepsilon$. $\liminf x_n=\sup X=b\Leftrightarrow \forall\varepsilon\exists x\in X: x>b-\varepsilon$. И по прежнему ничего не понятно.

[Профессор Снэйп]

Вспомните теоремы о том, что $\liminf$ и $\limsup$ - тоже частичные пределы (наименьший и наибольший соответственно). Следовательно, сколь угодно малые окрестности этих двух чисел последовательность посещает бесконечно часто. А шажочки-то уменьшаются!

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #564399 писал(а):

последовательность посещает бесконечно часто

бесконечно много раз, причём по очереди

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #564401 писал(а):

причём по очереди

А вот это отнюдь не обязательно!

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #564403 писал(а):

А вот это отнюдь не обязательно!

но заведомо возможно, и при этом упрощает логику

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #564404 писал(а):

но заведомо возможно, и при этом упрощает логику

Не понял. Как может упростить логику опора на неверное суждение?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #564407 писал(а):

опора на неверное суждение

Что значит "неверное"? В любом случае для формализации придётся переходить к подпоследовательностям. Ну так и надо с самого начала выбрать подпоследовательность $\{n_k\}$ так, что $x_{n_{2m}}<a+\varepsilon$ и $x_{n_{2m+1}}>b-\varepsilon$ (где $a+\varepsilon<x<b-\varepsilon$).

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #564411 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #564407 писал(а):

опора на неверное суждение

Что значит "неверное"? В любом случае для формализации придётся переходить к подпоследовательностям. Ну так и надо с самого начала выбрать подпоследовательность $\{n_k\}$ так, что $x_{n_{2m}}<a+\varepsilon$ и $x_{n_{2m+1}}>b-\varepsilon$ (где $a+\varepsilon<x<b-\varepsilon$).

При таком переходе стремление шага к нулю может исчезнуть

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #564417 писал(а):

При таком переходе стремление шага к нулю может исчезнуть

Не может, т.к. подпоследовательность всё-таки бесконечна.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #564420 писал(а):

Не может, т.к. подпоследовательность всё-таки бесконечна.

И что с того?

Вы сами посмотрите, у Вас $x_{n_{2m+1}} - x_{n_{2m}} > b - a - 2\varepsilon$. Как это может стремиться к нулю с ростом $m$?

-- Пт апр 27, 2012 12:01:49 --

И, кстати, для формализации упоминать какие-либо подпоследовательности вообще не обязательно.