Кольца и идеалы.

[jek239]

Пусть $B - подкольцо кольца $A. Верно ли, что если $B - кольцо с единицей то и $A - кольцо с единицей.

[apriv]

С чего бы это вдруг? Если элемент нейтрален по отношению к умножению на элементы $B$, то из этого никак не следует, что он нейтрален по отношению у умножению на элементы большего кольца $A$. Мораль — подумайте, какие кольца без единицы Вы вообще знаете.

[jek239]

Какие бывают нейтральные элементы по умножению в кольце, кроме 1, единичной матрицы и т.п.?
Спасибо.

[apriv]

jek239 в сообщении #563664 писал(а):

Какие бывают нейтральные элементы по умножению в кольце, кроме 1, единичной матрицы и т.п.?
Спасибо.

Да какие угодно. То есть, буквально, любой объект является нейтральным элементом в каком-то кольце.

[Профессор Снэйп]

Есть совсем тривиальный контрпример: если взять кольцо, состоящее из одного нуля, то оно будет кольцом с единицей

Но если такое не устраивает... Тут вот была тема про булевы кольца. Так ещё один контрпример сразу оттуда вырисовывается.

Берём $A$ - булево кольцо без единицы. Оно бесконечно. Выбираем произвольный ненулевой $a \in A$ и рассматриваем $B= \{ 0, a \}$.

[AV_77]

Таких примеров масса.
Пусть $P$ - кольцо с единицей, а $K$ - кольцо без единицы, например, $2\mathbb{Z}$. Возьмем $A = P \oplus K$ и $B = \{ (p, 0) \ | \ p \in P \}$. Тогда в $A$ единицы нет, а в $B$ единицей является $(1, 0)$.

[VAL]

Еще примерчик.
В качестве $A$ возьмем кольцо, порожденное классом $[10]$, в $\mathbb Z_{60}$ (кольце классов вычетов по модулю 60). А в качестве $B$ - кольцо, порожденное классом $[20]$. Тогда $A$ - кольцо без единицы, а в его подкольце $B$ единицей является класс $[40]$.