Доказать, что последовательность ограниченна

[xmaister]

Доказать, что последовательность $x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}$ ограничена при $0<x_1<1$.
Моя попытка:
Кладу $x_1=x$. Рассматриваю $x_2=x+x^2,\ldots ,$
$x_n=x+x^2\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac1{k^2}+x^3\sum\limits_{k=3}^{n-1}\sum\limits_{i=1}^{k-1}\frac1{(ik)^2}+x^4\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left(\left(\sum\limits_{l=1}^{k-1}\frac1{l^2}\right)^2+\sum\limits_{m=3}^{k-1}\sum\limits_{i=1}^{m-1}\frac1{(ik)^2}\right)+$
$+\ldots +\frac1{(n-1)!^2}x^{2^{n-1}}$. Хотел эту штуку каким-нибудь хорошим степенным рядом промажорировать, но эти коэффициенты $a_{k}^{(m)}$ трудно считаются. Может этот способ вообще ни к чему не приведёт? Помогите.

-- 24.04.2012, 21:43 --

Ну ещё что понятно, это то что, если $x_1=1$, то $x_n=n$ и тогда получается, что $a_1^{(1)}=1,a_1^{(2)}+a_2^{(2)}=2,\ldots ,a_1^{(n)}+\ldots +a_{2^{n-1}}^{(n)}=n$. Но отсюда тоже не очень видно, как эти штуки оцениваются.

[RIP]

Классная задачка. Можно так рассуждать. Пусть $x_n=\varepsilon_nn$. Тогда $\varepsilon_n\in(0,1)$ и $\varepsilon_{n+1}=\varepsilon_n-\dfrac{\varepsilon_n(1-\varepsilon_n)}{n+1}$. Отсюда $\varepsilon_n\downarrow\varepsilon\in[0,1)$. Тогда $\varepsilon_n=\varepsilon_{n-1}-\dfrac{\varepsilon(1-\varepsilon)+o(1)}n=\ldots=-(\varepsilon(1-\varepsilon)+o(1))\ln n$, откуда $\varepsilon=0$. Следовательно,

$$\varepsilon_n=\varepsilon_{n-1}\left(1-\dfrac{1+o(1)}n\right)=\ldots=n^{-1+o(1)},$$

т.е. $x_n=n^{o(1)}$. Теперь ограниченность мгновенно следует из рекуррентного ур-ия: $x_{n+1}\le x_n+\dfrac{C}{n^{3/2}}$.

[xmaister]

RIP, супер! Большое спасибо.

[boomeer]

Не понимаю, что здесь есть o(1)?
И откуда в конце второй строки взялся логариф от n

[xmaister]

boomeer в сообщении #617769 писал(а):

Не понимаю, что здесь есть o(1)?

Это класс функций $g(x)$, таких что для всякого$\varepsilon >0$ существует окрестности нуля и для всех $x$ из этой окрестности $|g(x)|\le\varepsilon$. Выражение вида $g(x)=f(x)+o(1)$- некоторая вольность записи, подразумевается какая-то функция класса $o(1)$.

boomeer в сообщении #617769 писал(а):

И откуда в конце второй строки взялся логариф от n

Есть формула суммирования Эйлера-Маклорена. Достаточно знать её в виде $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac1{k}=\int\limits_{1}^{n}\frac1{x}dx+\frac{1+\frac{1}{n}}{2}+\int\limits_{1}^{n}\left(\{x\}-\frac{1}{2}\right)\frac{1}{x^2}dx$. Подумайте, почему такая формула может иметь место или загляните в Виноградова- Основы теории чисел, там формула Сонина, тоже самое, только с некоторыми прибамбасами

[sup]

Можно действовать в том же духе, но чуть более "по тупому". Пусть $0 < x_1 <1$.
Сначала по индукции доказываем $x_n \leqslant x_1 n$
Далее
$\ln x_{n+1} = \ln x_n + \ln (1 + \frac {x_n}{n^2}) \leqslant \ln x_n + \frac {x_n}{n^2} \leqslant \ln x_n + \frac {x_1}{n}$
Следовательно $\ln x_{n+1} \leqslant C +x_1 \ln n$, а значит и $x_n \leqslant C n^{x_1}$.
Ну а теперь как и у RIP
$\ x_{n+1} \leqslant x_n + C n^{x_1-2}$