найти сумму

[tavrik]

точнее, доказать:
$\frac{1}{e^\pi-e^{-\pi}}-\frac{2}{e^{2\pi}-e^{-2\pi}}+\frac{3}{e^{3\pi}-e^{-3\pi}}-...=\frac{1}{8\pi}$

я начал какие то такие преобразования:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(-1)^{n+1}}{e^{n\pi}-e^{-n\pi}}=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\pi(-1)^{n+1}}{\sinh{n\pi}}$

как мне продолжить - добавить нулевой член суммы ряда?...

[xmaister]

Посчитайте предел $\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{C}\frac{\pi zdz}{(e^{\pi z}+e^{-\pi z})\sin\pi z}$, где $C$- окружность радиуса $n+\frac12$.

[tavrik]

а теоремой то что называется Абеля-Плана здесь нельзя воспользоваться?
как то ваша подъинтегральная функция мне неясна - почему она именно такая?


-- Вс май 13, 2012 15:26:04 --

а, сори, нашел там же в книге - формулу для $-\pi\sum\operatorname{res}\frac{Q(z)}{\sin{z\pi}}$

видимо это оно...

[tavrik]

торможу, выходит какой-то бред:
$f(z) = \frac{z\pi}{e^{z\pi}-e^{-z\pi}}$

теперь вычисляем:
$\operatorname{res}_{z=i}\frac{f(z)}{\sin{z\pi}}$
$\operatorname{res}_{z=-i}\frac{f(z)}{\sin{z\pi}}$
все это помноженное на $-\pi$ даёт искомую сумму ряда(точнее её половину..там же не с $-\infty$)
если до сих пор верно то все нормально - где-то в цифрах ошибся...

не понимаю, какой смысл переходить от суммы ряда к сумме вычетов, если их тоже бесконечное количество?
то есть наоборот, каждый член ряда, это получается и есть вычет в точке.
тогда почему высчитывается только в полюсах $z=\pm{i}$