Найти уравнение движения

[matalkz]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста, найти уравнение движения $x=x(t)$.



По условию тело перемещается по шероховатой поверхности под действием вертикальной силы $F=kmx$.
Дано: $m, k, f, v_0=1, x_0=0, t_0=0$, где $f$ - коэффициент трения.

Составляю уравнения уравнения в проекциях на координатных оси, получается:
$ma_x = -F_{TP} + Fsin(\alpha)+mgsin(\alpha)$
$ma_y = N - Fcos(\alpha) - mgcos(\alpha)$

Когда начинаю интегрировать, получается в правой части $x$ уже есть, а в левой он появляется. Не знаю как дальше решать. Подскажите, пожалуйста

[whiterussian]

А что у вас творится по оси $y$? Объясните на человeческом языке...

[matalkz]

По линии действия силы $F$ действует еще и сила тяжести, а также сила реакции опоры $N$ перпендикулярно $Ox$. Проекция всех сил на ось $y$ равна нулю.

[whiterussian]

А теперь запишите уравнение (полное!) для оси $x$

[matalkz]

$a_x = -fkxcos(\alpha) - fgcos(\alpha) + kxsin(\alpha) + gsin(\alpha)$

Но ведь $a_x = dv/dt$, и тут скорость от времени, а в правой части уже есть $x = x(t)$. А мне нужно получить полное уравнение движение $x$ от $t$

Могу ли я сначала найти зависимость скорость по времени, а потом воспользоваться равенством $v_x = vdv/dx$. После чего, еще раз проинтегрировав, выразить $x$

[whiterussian]

Уравнение не верно.
Откуда у вас взялся первый член?

[matalkz]

$F_{TP} = fN$, где $N = mkxcos(\alpha) + mgcos(\alpha)$

[whiterussian]

А у вас что?

[matalkz]

Я скобки сразу раскрыл и на $m$ поделил

[whiterussian]

Ну так не честно... $f$ вы сначала потеряли...

-- Пн апр 23, 2012 14:26:51 --

Теперь давайте решать. Объедините все члены с $x$.

[matalkz]

Да-да, я сразу же потом исправил :) Вот и не поняли друг друга :)
Так вот дальше то что делать? Приравнивать к $dv/dt$ и интегрироваровать, после чего приравнивать к $dx/dt$ и тоже интегрировать? Это и будет ответ?

-- 23.04.2012, 22:31 --

После подстановки значений остается:
$a_x = 0,04x+4,14$
$dv/dt = 0,04x + 4,14$
$v = 0,04xt + 4,14t + C$, $C = 1$ после подстановки.
$dx/dt = 0,04xt + 4,14t + x + C$, $C = 0$
$x(t) = 0,04xt^2+4,14xt+x$
Я правильно рассуждаю? Просто $x$ в правой части смущает...

[whiterussian]

Да. Не должно его там быть.
Вы неправильно интегрируете.

[matalkz]

Тогда:
$vdv = (0,04x+4,14)dx$
$v^2 = 2(0,04x^2 + 4,14x + 1)$, $C = 1$
$v = \sqrt{2(0,04x^2 + 4,14x + 1)}$
$dx/\sqrt{2(0,04x^2 + 4,14x + 1)} = dt$
Остается вычислить эти интеграл и выразить $x$ через $t$?

[Alexandr007]

matalkz в сообщении #563164 писал(а):

$a_x = -fkxcos(\alpha) - fgcos(\alpha) + kxsin(\alpha) + gsin(\alpha)$

У Вас получилось уравнение вида $a=p^2 (x+q)$, это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, решением является $x(t)=C_1 e^{pt}+C_2 e^{-pt}-q$