Занимательный предел

[coll3ctor]

Доброго времени суток, господа.
Есть такая функция $f(x) = \frac{\tg(\sin(x)) - \sin (\tg(x))}{\arctg(\arcsin(x)) - \arcsin(\arctg(x))}$
Нужно найти её предел, при $x\to0$

Что у меня есть?
Если подставить нули, то получится - ноль.
Т.к. алгебраическая сумма, эквивалентными функциями я тут не упрощусь.
Ввёл в мат пакет, получил единицу.
Разложил $f(x)$ в пакете в ряд Тейлора (Маклорена уж) и получил $1+o(x)^1$
Разложил $f(x)$ на каком то сайте в тот же ряд Маклорена и получил полином с 1 свободным членом, 5 слагаемыми ($x^4,x^6,x^8,x^10 + $ коэффициенты при них, разумеется) + o(x)^11.

Ну всё, настала пора работать вручную. Разложил отдельно tg(x), sin(x), arctg(x), arcsin(x) в ряд Тейлора ($x_0=0$). Думаю, все знают чему они равны. Настала пора подставлять и я понимаю что получатся очень большие полиномы. Всё пытаюсь схитрить:
$\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+o(x^8) = t$
Тогда
$\tg(t) = t + \frac{t^3}{3} + \frac{2t^5}{15}-\frac{17t^7}{315}+o(t^8) $
получится полиномом 49 порядка, и снизу, примерно тоже самое. По негласному правилу "...если степень полинома в числителе равна степени полинома в знаменателе, то отношение коэффицентов при наибольших по степени членов и есть предел..", которое доказывается правилом Лопиталя, должна получится единица, полагаю.

Что скажете, господа?

[Someone]

Скажем, что правило Вы взяли совсем для другого предела, к Вашему оно никакого отношения не имеет.

coll3ctor в сообщении #562946 писал(а):

получится полиномом 49 порядка,

Зачем Вам этот полином? Вам нужно найти только младшие члены - столько, чтобы они не сокращались (и в числителе, и в знаменате).

[coll3ctor]

Someone в сообщении #562949 писал(а):

Скажем, что правило Вы взяли совсем для другого предела, к Вашему оно никакого отношения не имеет.

coll3ctor в сообщении #562946 писал(а):

получится полиномом 49 порядка,

Зачем Вам этот полином? Вам нужно найти только младшие члены - столько, чтобы они не сокращались (и в числителе, и в знаменате).

другого? Хм, быть может при $n\to\infty$?

Извините, я не совсем понял, а младшие члены чего, полинома? Если да, то то есть члены, с наименьшей степенью. Предположим, я разложил и подставил, упростил, в числители и знаменателе получил по полиному, одинакого порядка. И что далее, с младшими членами?

[Praded]

Это задача 5 повышенной сложности для необязательного решения из задания 3 по математике для 1 курса МФТИ прошлой осени со сменой знаков в числителе и знаменателе. Там нужно всё раскладывать до $o(x^7)$. Очень нудно и ответ не очень красивый. Порешал осенью в своё удовольствие.

[RIP]

post282152.html