Множества

[arseniiv]

samuil в сообщении #562824 писал(а):

Как-то слишком много вложений...

В польской нотации скобок не было бы вовсе, но она не такая удобная, говорят.

Теперь можете использовать ассоциативность ещё два раза и получите самое развёрнутое из того, что предстоит получить.

[samuil]

$$(x \in A\wedge x \in C)\vee (x \in B \wedge x \in D) \equiv (x \in A\vee (x \in B \wedge x \in D) )\wedge (x \in C\vee (x \in B \wedge x \in D))\Rightarrow$$

$$ \Rightarrow((x \in A\vee x \in B) \wedge (x \in A\vee x \in D) )\wedge ((x \in B\vee x \in C )\wedge (x \in C \vee x \in D))\Rightarrow $$

Мне кажется, что можно выкинуть $A$ и $A$ из-за того, что они встречаются дважды...Есть ли смысл пересекать множество с самим собой?)

$$ \Rightarrow((x \in A\vee x \in B) \wedge (x \in D) )\wedge ((x \in B\vee x \in C )\wedge (x \in D))\Rightarrow $$

[arseniiv]

(Оффтоп)

Надо было обозначить $x \in E$ как $e$, наверно. Глаза разбегаются.

[samuil]

arseniiv в сообщении #562834 писал(а):

(Оффтоп)

Надо было обозначить $x \in E$ как $e$, наверно. Глаза разбегаются.

А может вот так обозначить "своей буквой"?

$(A\cap C)\cup(B\cap D)\subset (A\cup B)\cap(C\cup D)$

$a=x\in A$

$b=x\in B$

$c=x\in C$

$d=x\in D$

Нужно доказать, что...

$(a\wedge c)\vee(b\wedge d) \Rightarrow (a\vee b)\wedge (c\vee d)$

Можно так? Будет ли проще? Вообщем, я запутался...

[Maslov]

В связи с достаточно очевидным $x \in B \land x \in D \Rightarrow x \in B $,
отсюда

samuil в сообщении #562833 писал(а):

$$(x \in A\wedge x \in C)\vee (x \in B \wedge x \in D) \equiv (x \in A\vee (x \in B \wedge x \in D) )\wedge (x \in C\vee (x \in B \wedge x \in D))\Rightarrow$$

уже можно непосредственно перейти к тому, что хочется доказать.

[samuil]

Maslov в сообщении #562838 писал(а):

В связи с достаточно очевидным $x \in B \land x \in D \Rightarrow x \in B $,
....

А я думал, что $x \in B \land x \in D \Rightarrow x \in B\diagdown D$

[Maslov]

samuil в сообщении #562847 писал(а):

А я думал, что $x \in B \land x \in D \Rightarrow x \in B\diagdown D$

Ваши мысли ужасны:
Во-первых, это просто неправильно
Во-вторых, $A \Rightarrow B$ вовсе не исключает $A \Rightarrow C$.

[samuil]

Ох, точно...

$$(x \in A\wedge x \in C)\vee (x \in B \wedge x \in D) \equiv (x \in A\vee (x \in B \wedge x \in D) )\wedge (x \in C\vee (x \in B \wedge x \in D))\Rightarrow$$

$$\Rightarrow (x \in A\wedge x \in C)\vee (x \in B ) \equiv (x \in A\vee (x \in B) )\wedge (x \in C\vee (x \in B ))\Rightarrow$$

Чувствую, что это вновь бред....) Так как $D$ присутствует в утверждении, которое нам нужно доказать, а здесь - нет...

[Maslov]

Все, последний намек:
$x \in B \land x \in D \Rightarrow x \in B $,
но в то же время, как это ни загадочно,
$x \in B \land x \in D \Rightarrow x \in D $

[samuil]

Maslov в сообщении #562856 писал(а):

Все, последний намек:
$x \in B \land x \in D \Rightarrow x \in B $,
но в то же время, как это ни загадочно,
$x \in B \land x \in D \Rightarrow x \in D $

Ах, все понял теперь, ну я и тупил)) Спасибо за терпение)

$$(x \in A\wedge x \in C)\vee (x \in B \wedge x \in D) \equiv (x \in A\vee (x \in B \wedge x \in D) )\wedge (x \in C\vee (x \in B \wedge x \in D))\Rightarrow$$

$$(x \in A\wedge x \in C)\vee (x \in B \wedge x \in D) \equiv (x \in A\vee x \in B )\wedge (x \in C\vee \wedge x \in D))$$

А это и требовалось доказать, фактически)

[Maslov]

samuil в сообщении #562861 писал(а):

$$(x \in A\wedge x \in C)\vee (x \in B \wedge x \in D) \equiv (x \in A\vee x \in B )\wedge (x \in C\vee \wedge x \in D))$$

Это опять неправильно.

У нас же были неравносильные переходы типа $x \in C \land x \in D \Rightarrow x \in C$, поэтому там не эквивалентность, а импликация:

$(x \in A\wedge x \in C)\vee (x \in B \wedge x \in D) \Rightarrow (x \in A\vee x \in B )\wedge (x \in C\vee x \in D)$

[samuil]

Maslov в сообщении #562868 писал(а):

samuil в сообщении #562861 писал(а):

$$(x \in A\wedge x \in C)\vee (x \in B \wedge x \in D) \equiv (x \in A\vee x \in B )\wedge (x \in C\vee \wedge x \in D))$$

Это опять неправильно.

У нас же были неравносильные переходы типа $x \in C \land x \in D \Rightarrow x \in C$, поэтому там не эквивалентность, а импликация:

$(x \in A\wedge x \in C)\vee (x \in B \wedge x \in D) \Rightarrow (x \in A\vee x \in B )\wedge (x \in C\vee x \in D)$

Да, точно, спасибо=)

[samuil]

А можно было вот так сделать, с помощью таблицы истинности?

$(A\cap C)\cup(B\cap D)\subset (A\cup B)\cap(C\cup D)$

$a=x\in A$

$b=x\in B$

$c=x\in C$

$d=x\in D$

Нужно доказать, что...

$(a\wedge c)\vee(b\wedge d) \Rightarrow (a\vee b)\wedge (c\vee d)$

1)

\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline a & c & a\wedge c\\ \hline 0 &0 & 0 \\ \hline 0 &1& 0 \\ \hline 1 &0 & 0 \\ \hline 1 &1 & 1 \\ \hline \end{tabular}

\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline b & d & b\wedge d\\ \hline 0 &0 & 0 \\ \hline 0 &1& 0 \\ \hline 1 &0 & 0 \\ \hline 1 &1 & 1 \\ \hline \end{tabular}

\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline a\wedge c & b\wedge d & (a\wedge c)\vee (b\wedge d)\\ \hline 0 &0 & 0 \\ \hline 0 &1& 0 \\ \hline 1 &0 & 0 \\ \hline 1 &1 & 1 \\ \hline \end{tabular}

2)

\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline a & b & a\vee b\\ \hline 0 &0 & 0 \\ \hline 0 &1& 1 \\ \hline 1 &0 & 1 \\ \hline 1 &1 & 1 \\ \hline \end{tabular}

\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline c & d & c\vee d\\ \hline 0 &0 & 0 \\ \hline 0 &1& 1 \\ \hline 1 &0 & 1 \\ \hline 1 &1 & 1 \\ \hline \end{tabular}

\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline a\vee b & c\vee d & (a\vee b)\wedge (c\vee d)\\ \hline 0 &0 & 0 \\ \hline 0 &1& 1 \\ \hline 1 &0 & 1 \\ \hline 1 &1 & 1 \\ \hline \end{tabular}

3)

Пусть

$\alpha=(a\wedge c)\vee (b\wedge d)$

$\beta = (a\vee b)\wedge (c\vee d)$

\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \alpha & \beta & \alpha \Rightarrow \beta \\ \hline 0 &0 & 1 \\ \hline 0 &1& 1 \\ \hline 0 &1 & 1 \\ \hline 1 &1 & 1 \\ \hline \end{tabular}

Посоветуйте, пожалуйста, какую-нибудь книжку по мат.логике на очень простом языке)

[Maslov]

samuil в сообщении #562984 писал(а):

А можно было вот так сделать, с помощью таблицы истинности?

Не знаю: нет уверенности, что все случаи рассмотрены. Лучше для надежности одну большую таблицу истинности строить, на 16 строк.

samuil в сообщении #562984 писал(а):

Посоветуйте, пожалуйста, какую-нибудь книжку по мат.логике на очень простом языке)

Даже не знаю, что Вам посоветовать. "Л.М.Лихтарников, Т.Г.Сукачева. Математическая логика. Курс лекций. Задачник-практикум и решения." вроде бы несложный учебник.

Но мне больше "В. Игошин. Математическая логика и теория алгоритмов" нравится. (с его же задачником).

[samuil]

Maslov в сообщении #563075 писал(а):

samuil в сообщении #562984 писал(а):

А можно было вот так сделать, с помощью таблицы истинности?

Не знаю: нет уверенности, что все случаи рассмотрены. Лучше для надежности одну большую таблицу истинности строить, на 16 строк.

samuil в сообщении #562984 писал(а):

Посоветуйте, пожалуйста, какую-нибудь книжку по мат.логике на очень простом языке)

Даже не знаю, что Вам посоветовать. "Л.М.Лихтарников, Т.Г.Сукачева. Математическая логика. Курс лекций. Задачник-практикум и решения." вроде бы несложный учебник.

Но мне больше "В. Игошин. Математическая логика и теория алгоритмов" нравится. (с его же задачником).

Спасибо