Частные производные. Верно решил?

[Tkas]

Maslov в сообщении #562617 писал(а):

Tkas в сообщении #562472 писал(а):

3)$z''_{xy} = (- \frac{1}{y}\sin \frac{x}{y} )' = (- \frac{1}{y} )'(\sin\frac{x}{y})' = (-y ^{-1} )'(\sin x y^{-1})'= \frac{1}{y^{2}}\sin \frac{x}{y} + ( -\frac{x}{y})\cos \frac{x}{y} $

Tkas, напишите, пожалуйста, чему равно производная произведения:

$(uv)' = u'v+v'u$

Забыл про (-1/y) :) Вот так ?
3)$z''_{xy} = (- \frac{1}{y}\sin \frac{x}{y} )' = (- \frac{1}{y} )'(\sin\frac{x}{y})' = (-y ^{-1} )'(\sin x y^{-1})'= \frac{1}{y^{2}}\sin \frac{x}{y} + (- \frac{1}{y})( -\frac{x}{y^{2}})\cos \frac{x}{y} $

[Maslov]

Tkas в сообщении #562619 писал(а):

$(uv)' = u'v+v'u$

Tkas в сообщении #562619 писал(а):

Забыл про (-1/y) :) Вот так ?
3)$z''_{xy} = (- \frac{1}{y}\sin \frac{x}{y} )' = (- \frac{1}{y} )'(\sin\frac{x}{y})' =...$

У Вас производная произведения двух функций: $-\frac 1 y$ и $\sin \frac x y$.
Каким образом она превратилась просто в произведение производных $(- \frac{1}{y} )'(\sin\frac{x}{y})'$?

И как уже сказал Профессор Снэйп, лучше указывать, по какой переменной осуществляется дифференцирование: $(- \frac{1}{y}\sin \frac{x}{y} )'_y = ...$

[Tkas]

Maslov в сообщении #562632 писал(а):

Tkas в сообщении #562619 писал(а):

$(uv)' = u'v+v'u$

Tkas в сообщении #562619 писал(а):

Забыл про (-1/y) :) Вот так ?
3)$z''_{xy} = (- \frac{1}{y}\sin \frac{x}{y} )' = (- \frac{1}{y} )'(\sin\frac{x}{y})' =...$

У Вас производная произведения двух функций: $-\frac 1 y$ и $\sin \frac x y$.
Каким образом она превратилась просто в произведение производных $(- \frac{1}{y} )'(\sin\frac{x}{y})'$?

Данной записью, я хотел показать, что нужно дифференцировать обе части вообще, так как они содержат игрек (то есть, я заменил так подстрочную запись дифференцирования по игрек). Разумеется я дифференцировал по правилам, после знака равно мои попытки в этом видны :)

[Maslov]

Tkas в сообщении #562634 писал(а):

Данной записью, я хотел показать, что нужно дифференцировать обе части вообще

Показать это Вам не удалось: выражения, соединенные у Вас знаками равенства, на самом деле, не равны. Другими словами, Вы в результате неправильных выкладок не пойми как получаете правильный ответ.

Кроме этого, в конечном ответе надо убрать минусы и лишние скобки.

[ewert]

Tkas в сообщении #562634 писал(а):

Данной записью, я хотел показать, что нужно дифференцировать обе части вообще, так как они содержат игрек

Вы изобрели свою собственную, совершенно замечательную математическую нотацию. Теперь остаётся лишь убедить весь остальной мир перейти на неё.

И, между прочим, неоднократно звучавшее предложение ставить буковки под штрихами можно считать практически обязательным. Не только по по формальным причинам, но и потому, что их отсутствие провоцирует ошибки.

[Tkas]

Пробую еще:
$z''_{xy}= \frac{\partial}{\partial y} (- \frac{1}{y} \sin \frac{x}{y} ) = \frac{1}{y ^{2} } \sin \frac{x}{y} + (- \frac{1}{y} ) \cos \frac{x}{y} x (- \frac{1}{y ^{2} })= \frac{1}{y ^{2} } \sin \frac{x}{y} + \frac{x}{y^{3}} \ cos \frac{x}{y} $
Продифференцировал $(- \frac{1}{y})$. Получилось $(\frac{1}{y^{2}})$. $\sin\frac{x}{y}$ оставил без изменений, согласно правилу. Далее $(- \frac{1}{y} ) $ это из исходного выражения, я его не дифференцировал. Косинус - это производная от синуса (аргумент сохранил). Потом дифференцировал аргумент. Икс - константа, дифференцирую по игрек, получилось $x (- \frac{1}{y ^{2} })$. Потом все это друг на друга умножаю (кроме косинуса с его аргументом), и получается ответ.

[Maslov]

Tkas в сообщении #562649 писал(а):

Пробую еще:
$z''_{xy}= \frac{\partial}{\partial y} (- \frac{1}{y} \sin \frac{x}{y} ) = \frac{1}{y ^{2} } \sin \frac{x}{y} + (- \frac{1}{y} ) \cos \frac{x}{y} x (- \frac{1}{y ^{2} })= \frac{1}{y ^{2} } \sin \frac{x}{y} + \frac{x}{y^{3}} \cos \frac{x}{y} $

Так нормально, но если хотите, чтобы Ваши выкладки проверили, лучше давать более подробную запись. Типа

$z''_{xy}= (- \frac 1 y \sin \frac x y)'_y = (- \frac 1 y)'_y \sin \frac x y + (- \frac 1 y) (\sin \frac x y)'_y = ...$

(С $\frac \partial {\partial y}$ тоже можно :))

[Tkas]

Maslov
$z''_{xy}= (- \frac 1 y \sin \frac x y)'_y = (- \frac 1 y)'_y \sin \frac x y + (- \frac 1 y) (\sin \frac x y)'_y = \frac{1}{y^{2}} \sin \frac{x}{y} + (- \frac 1 y) \cos \frac{x}{y} x (-\frac{1}{y^{2}} ) = \frac{1}{y ^{2} } \sin \frac{x}{y} + \frac{x}{y^{3}} \cos \frac{x}{y}$
Вы имеете ввиду решение верно или запись более-менее понятливой стала?)

[Алексей К.]

Решение верно.
Запись стала понятной (а не понятливой: понятливыми бывают люди, собачки, и др.)

-- 22 апр 2012, 14:53:34 --

$z''_{xy}= (- \frac 1 y \sin \frac x y)'_y = \ldots$
Так иногда проще (с минусом не заморачиваться):
$z''_{xy}= -\left(\frac 1 y \sin \frac x y\right)'_y = \ldots$

-- 22 апр 2012, 14:57:00 --

$z_{yy}$ в первом сообщении неправильно.

[Tkas]

Алексей К.
$z''_{yy}=( \frac{x}{y^{2}} \sin \frac{x}{y} )'_{y} =( \frac{x}{y^{2}})'_{y} \sin \frac{x}{y} + \frac{x}{y^{2}} (\sin \frac{x}{y} )'_{y}= - \frac{x}{y^{3}} \sin \frac{x}{y} + \frac{x}{y^{2}}\cos \frac{x}{y} x (- \frac{1}{y^{2}} )= - \frac{x}{y^{3}} \sin \frac{x}{y} + (- \frac{x^{2}}{y^{4}})\cos \frac{x}{y} $
А теперь правильно?

Алексей К. в сообщении #562672 писал(а):

Запись стала понятной (а не понятливой: понятливыми бывают люди, собачки, и др.)
.

Ясно)

[Алексей К.]

Нет.
Думаю, двоечку Вы просто нечаянно пропустили.

[Maslov]

Tkas,

$(\frac x {y^2})'_y = ?$

[Алексей К.]

А ещё, Tkas, сравните в этом сообщении свои скобочки (первая формула) с моими (вторая). Не правда ли, у Вас так себе, а у меня --- потрясающей красоты!
Если понравятся, можете взять на вооружение.

[Tkas]

Алексей К.
Да, такое очень часто бывает :)
$z''_{yy}=( \frac{x}{y^{2}} \sin \frac{x}{y} )'_{y} =( \frac{x}{y^{2}})'_{y} \sin \frac{x}{y} + \frac{x}{y^{2}} (\sin \frac{x}{y} )'_{y}= - \frac{2x}{y^{3}} \sin \frac{x}{y} + \frac{x}{y^{2}}\cos \frac{x}{y} x (- \frac{1}{y^{2}} )= - \frac{2x}{y^{3}} \sin \frac{x}{y} + (- \frac{x^{2}}{y^{4}})\cos \frac{x}{y} $

[Алексей К.]

Фу, какой ужас!