Частные производные. Верно решил?

[Tkas]

Туго дается эта тема... Я правильно нашел частные производные? Где мои ошибки?
$z=\cos \frac{x}{y} $

1)$z' _{x} = (\cos \frac{x}{y}) \prime =-\sin \frac{x}{y} ( \frac{x}{y}) \prime = -\sin \frac{x}{y} (x)\prime y^{-1} =- \frac{1}{y} \sin \frac{x}{y}$

2)$z'_{y} = (\cos \frac{x}{y}) \prime=-\sin \frac{x}{y} ( \frac{x}{y}) \prime = -\sin\frac{x}{y}x(y ^{-1}) = x(- \frac{1}{y ^{2} }) (-\sin \frac{x}{y} ) = \frac{x}{y ^{2}} (\sin \frac{x}{y} )$

3)$z''_{xy} = (- \frac{1}{y}\sin \frac{x}{y} )' = (- \frac{1}{y} )'(\sin\frac{x}{y})' = (-y ^{-1} )'(\sin x y^{-1})'= \frac{1}{y^{2}}\sin \frac{x}{y} + ( -\frac{x}{y})\cos \frac{x}{y} $

4)$z''_{yy}=(- \frac{x}{y ^{2} } )(-\sin \frac{x}{y} )=(-x)(y^{-2})'(-\sin \frac{x}{y} )+(- \frac{x}{y ^{2} })(-\sin \frac{x}{y})'= \frac{2x}{y ^{3} } \sin \frac{x}{y} + (- \frac{x}{y ^{2} } ) \cos \frac{x}{y} (- \frac{x}{y ^{2} } ) = \frac{2x}{y ^{3} } \sin \frac{x}{y} + \frac{x^{2} }{y ^{4} } \cos \frac{x}{y} $

5)$z''_{xx}=(- \frac{1}{y} \sin \frac{x}{y} )' = -\frac{1}{y} \cos \frac{x}{y} (x)' y ^{-1} = - \frac{1}{ y^{2} } \cos \frac{x}{y}$
upd: Обновлено

[svv]

1) Как ни дифференцируйте, но аргументом косинуса или синуса будет $\frac x y$, это изменить невозможно, если всё правильно. Тем не менее, Вам это удалось.

2) $- \frac{x}{y ^{2}} (-sin \frac{x}{y} )$
Ни капельки не хочется убрать минусы?

3) Синус и косинус кодируйте так: \sin \cos
Тогда будет красивее: $\sin \cos$

[Tkas]

svv, вот так))
$ \frac{x}{y ^{2}} (\sin \frac{x}{y} )$
xy и yy я верно нашел?)

[svv]

А первое замечание было к тому, что такого $\cos\frac 1 y$ не должно быть, может быть только $\cos\frac x y$ (это и в $z''_{xy}$, и в $z''_{yy}$).

[Tkas]

Изменения в первом сообщении

[svv]

Tkas писал(а):

$z''{yy} = ((- \frac{x}{y ^{2}}) (-sin \frac{x}{y} ))'=(((-x)(y^{-2}))'*(-sin \frac{x}{y}) + ((-sinxy^{-1})'*(- \frac{x}{y^{2}})= ((-x)*( -\frac{2}{y^{3} }) *(-sin \frac{x}{y} )+(-cosx(- \frac{x}{y ^{2} })*(- \frac{x}{y^{2} } ))$

Tkas, Вы простите, но здесь Вы не учли
ни первого замечания (аргументом косинуса и синуса может быть только $\frac x y$ и ничего больше);
ни второго замечания (нельзя писать формулы с таким нагромождением минусов $(-x)*( -\frac{2}{y^{3} }) *(-sin \frac{x}{y} )$, должен быть инстинкт по возможности всё упрощать, кроме особых случаев);
ни третьего замечания (просьба писать так: $\sin\frac x y$, а не так: $sin\frac x y$).

Я так работать не могу. Может, кто-то ещё Вам поможет.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Исправьте, пожалуйста, все формулы в теме: их абсолютно невозможно читать.

1. Не используйте * в качестве знака умножения. В подавляющем большинстве случаев знак умножения вообще не нужен, но если все-таки возникает непреодолимое желание его поставить, используйте $\cdot$

\cdot

2. Стандартные функции (включая тригонометрические) набираются так:

$\sin x, \cos x, \ln x$

$\sin x, \cos x, \ln x$

Сравните это со своим

$sinx, cosx$

$sinx, cosx $

3. $z''_{yy}$ набирается так:

$z''_{yy}$

4. Уберите лишние скобки.

Обратите внимание, что при наборе формул осуществляется их автоматическая проверка, и по ее результатам под окном ввода ответа появляется сообщение
Мы проверили ваши формулы и нашли ошибки в оформлении. Нажмите для получения подробностей.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Вернул.

[Tkas]

Обновил мои решения в первом сообщении

[Профессор Снэйп]

Честно говоря, досконально проверять не стал. Но что сразу смутило - штрихи. Когда пишем просто штрих, то непонятно, по какой переменной идёт дифференцирование.

Красивее и правильнее (хоть и не всегда удобнее) писать $\partial/\partial x$, $\partial/ \partial y$...

[Tkas]

Профессор Снэйп в сообщении #562595 писал(а):

Честно говоря, досконально проверять не стал. Но что сразу смутило - штрихи. Когда пишем просто штрих, то непонятно, по какой переменной идёт дифференцирование.

Красивее и правильнее (хоть и не всегда удобнее) писать $\partial/\partial x$, $\partial/ \partial y$...

Которая в скобках перед штрихом) (то есть, только одну скобку)

[Профессор Снэйп]

Tkas в сообщении #562598 писал(а):

Которая в скобках перед штрихом

Вот у Вас в пункте 1 есть запись (после первого знака равенства): $(\cos \frac{x}{y}) \prime$. По какой переменной этот штрих? То есть понятно, что в данном случае по $x$, но из записи это не ясно.

[Tkas]

Профессор Снэйп в сообщении #562601 писал(а):

Tkas в сообщении #562598 писал(а):

Которая в скобках перед штрихом

Вот у Вас в пункте 1 есть запись (после первого знака равенства): $(\cos \frac{x}{y}) \prime$. По какой переменной этот штрих? То есть понятно, что в данном случае по $x$, но из записи это не ясно.

$z=(\cos \frac{x}{y} )'_{x} $
Вы имеете ввиду вот так?

[Профессор Снэйп]

Tkas в сообщении #562603 писал(а):

Вы имеете ввиду вот так?

Можно и так.

Честно говоря, это мелочная придирка... Вам интересно, чтоб проверили детали, а мне лень. Но кто-нибудь да проверит.

[Maslov]

Tkas в сообщении #562472 писал(а):

3)$z''_{xy} = (- \frac{1}{y}\sin \frac{x}{y} )' = (- \frac{1}{y} )'(\sin\frac{x}{y})' = (-y ^{-1} )'(\sin x y^{-1})'= \frac{1}{y^{2}}\sin \frac{x}{y} + ( -\frac{x}{y})\cos \frac{x}{y} $

Tkas, напишите, пожалуйста, чему равна производная произведения:

$(u(x)v(x))'_x = $