Множества

[samuil]

1) Доказать, что $(A\cap B)\cuo(B\cap D)\subset (A\cup B)\cap(C\cup D)$

С чего начать доказательство?

2) Пользуясь правилами алгебры множеств и определениями операций над множествами, упростить выражение:

$((A\cup B\cup C)\cap (A\cup B))\setminus ((A\cup (B\setminus C))\cap A)$

Можно ли так?

$(A\cup B\cup C)\cap (A\cup B)= (A\cup B)$

$(A\cup (B\setminus C))\cap A=A$

$((A\cup B\cup C)\cap (A\cup B))\setminus ((A\cup (B\setminus C))\cap A)=(A\cup B)\setminus A=B$

3) Найти $A\cap B$, если $A=\{x=2n+1|n-\text{целое}\}$ и $B=\{x=3n+2|n-\text{целое}\}$

С чего тут начать? Я знаю только один способ - начать выписывать все нечетные числа и выбрать из них те, которые подчиняются формуле $3n+2$. Есть ли еще способы. Как это оптимально сделать*?

[Maslov]

samuil в сообщении #562270 писал(а):

1) Доказать, что $(A\cap B)\cup (B\cap D)\subset (A\cup B)\cap(C\cup D)$
С чего начать доказательство?

Я думаю, с предположения $ x \in (A\cap B)\cup (B\cap D)$

samuil в сообщении #562270 писал(а):

2) ...
Можно ли так? $... =(A\cup B)\setminus A=B$

Нельзя, потому что это неправильно (рассмотрите, например, случай $A=B=\{1\}$)

samuil в сообщении #562270 писал(а):

3) ... С чего тут начать?

Подумать, какие числа вида $3n+2$ являются нечетными.

[samuil]

Maslov в сообщении #562288 писал(а):

samuil в сообщении #562270 писал(а):

2) ...
Можно ли так? $... =(A\cup B)\setminus A=B$

Нельзя, потому что это неправильно (рассмотрите, например, случай $A=B=\{1\}$)

Спасибо, действительно. А так верно? $... =(A\cup B)\setminus A=B\setminus A$

-- 21.04.2012, 00:25 --

Maslov в сообщении #562288 писал(а):

Подумать, какие числа вида $3n+2$ являются нечетными.

$n$ должно быть нечетное, то есть $n=2k+1$ . Но как это поможет?

$3(2k+1)+2=6k+5$

-- 21.04.2012, 00:28 --

Maslov в сообщении #562288 писал(а):

samuil в сообщении #562270 писал(а):

1) Доказать, что $(A\cap B)\cup (B\cap D)\subset (A\cup B)\cap(C\cup D)$
С чего начать доказательство?

Я думаю, с предположения $ x \in (A\cap B)\cup (B\cap D)$
.

Ну хорошо, $ x \in (A\cap B)\cup (B\cap D)$. Теперь необходимо доказать, что из этого следует, что
$ x \in (A\cup B)\cap(C\cup D)$. Но как это сделать?

[Maslov]

samuil в сообщении #562302 писал(а):

А так верно? $... =(A\cup B)\setminus A=B\setminus A$

Верно.

samuil в сообщении #562302 писал(а):

$n$ должно быть нечетное, то есть $n=2k+1$ . Но как это поможет?

$3(2k+1)+2=6k+5$

Во-первых, почему $2k+1$? $n = 1$ нам что, не подходит?
Во-вторых, найдя общий вид чисел, удовлетворяющих первому и второму условиям, Вы получите ответ.

samuil в сообщении #562302 писал(а):

Ну хорошо, $ x \in (A\cap B)\cup (B\cap D)$. Теперь необходимо доказать, что из этого следует, что
$ x \in (A\cup B)\cap(C\cup D)$. Но как это сделать?

$x \in (A\cup B)\cap(C\cup D) \Rightarrow x \in (A \cup B) \land x \in (C \cup D) \Rightarrow ...$
Дальше сами.

[samuil]

Maslov в сообщении #562320 писал(а):

Во-первых, почему $2k+1$? $n = 1$ нам что, не подходит?
Во-вторых, найдя общий вид чисел, удовлетворяющих первому и второму условиям, Вы получите ответ.

А ведь при $k=0$ получается $n=1$...

-- 21.04.2012, 02:30 --

Maslov в сообщении #562320 писал(а):

$x \in (A\cup B)\cap(C\cup D) \Rightarrow x \in (A \cup B) \land x \in (C \cup D) \Rightarrow ...$
Дальше сами.

Мне кажется что должно быть что-то в этом духе...

$$x \in (A\cup B)\cap(C\cup D) \Rightarrow x \in (A \cup B) \land x \in (C \cup D) \Rightarrow x \in(A\cup B)\wedge x \in (C\cup D)\Rightarrow x\in (A\cup B)\cap(C\cup D) \Rightarrow$$

$$\Rightarrow (A\cap B)\cup(B\cap D)\subset (A\cup B)\cap(C\cup D)$$

Но мне не понять вот этого следствия $x \in (A \cup B) \land x \in (C \cup D) \Rightarrow
x \in(A\cup B)\wedge x \in (C\cup D)$

[Maslov]

samuil в сообщении #562323 писал(а):

А ведь при $k=0$ получается $n=1$...

Да, не обратил внимания на то, что $n$ - целое, думал - натуральное.

В первом примере условие напишите еще раз, пожалуйста: что за знак между скобками в левой части и откуда в правой части взялось $C$?

[samuil]

$(A\cap C)\cup(B\cap D)\subset (A\cup B)\cap(C\cup D)$

Вот так..

[Maslov]

Вам надо доказать $x \in (A\cap C)\cup(B\cap D) \Rightarrow x \in (A\cup B)\cap(C\cup D)$

Решаются подобные примеры обычно так:
$x \in (A \cap C) \cup (B \cap D) \Rightarrow x \in (A \cap C)~\lor~x \in (B \cap D) \Rightarrow$
...
$\Rightarrow x \in (A \cup B) ~\&~ x \in (C \cup D) \Rightarrow x \in (A\cup B)\cap(C\cup D)$

[samuil]

Maslov в сообщении #562405 писал(а):

Вам надо доказать $x \in (A\cap C)\cup(B\cap D) \Rightarrow x \in (A\cup B)\cap(C\cup D)$

Решаются подобные примеры обычно так:
$x \in (A \cap C) \cup (B \cap D) \Rightarrow x \in (A \cap C)~\lor~x \in (B \cap D) \Rightarrow$
...
$\Rightarrow x \in (A \cup B) ~\&~ x \in (C \cup D) \Rightarrow x \in (A\cup B)\cap(C\cup D)$

Спасибо, это я понимал с начал создания темы и писал здесь, только буквы перепутал местами. Мне не понятно что стоит вместо троеточия..

samuil в сообщении #562323 писал(а):

Maslov в сообщении #562320 писал(а):

$x \in (A\cup B)\cap(C\cup D) \Rightarrow x \in (A \cup B) \land x \in (C \cup D) \Rightarrow ...$
Дальше сами.

Мне кажется что должно быть что-то в этом духе...

$$x \in (A\cup B)\cap(C\cup D) \Rightarrow x \in (A \cup B) \land x \in (C \cup D) \Rightarrow x \in(A\cup B)\wedge x \in (C\cup D)\Rightarrow x\in (A\cup B)\cap(C\cup D) \Rightarrow$$

$$\Rightarrow (A\cap B)\cup(B\cap D)\subset (A\cup B)\cap(C\cup D)$$

Но мне не понять вот этого следствия $x \in (A \cup B) \land x \in (C \cup D) \Rightarrow
x \in(A\cup B)\wedge x \in (C\cup D)$

[Maslov]

Общая идея такая: переходим от операций над множествами к логическим связкам, затем как-то перегруппируем условия, затем переходим обратно к операциям над множествами.

Ну, давайте попробуем доказать $(A \cap B) \cup C \subset (A \cup C) \cap (B \cup C)$

$x \in (A \cap B) \cup C \Rightarrow x \in A \cap B \lor x \in C \Rightarrow (x \in A~\&~x \in B) \lor x \in C \Rightarrow$

$\Rightarrow (x \in A \lor x \in C) ~\&~ (x \in B \lor x \in C) \Rightarrow (x \in A \cup C) ~\&~ (x \in B \cup C) \Rightarrow $

$\Rightarrow x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$

[samuil]

Maslov в сообщении #562417 писал(а):

Общая идея такая: переходим от операций над множествами к логическим связкам, затем как-то перегруппируем условия, затем переходим обратно к операциям над множествами.

Ну, давайте попробуем доказать $(A \cap B) \cup C \subset (A \cup C) \cap (B \cup C)$

$x \in (A \cap B) \cup C \Rightarrow x \in A \cap B \lor x \in C \Rightarrow (x \in A~\&~x \in B) \lor x \in C \Rightarrow$

$\Rightarrow (x \in A \lor x \in C) ~\&~ (x \in B \lor x \in C) \Rightarrow (x \in A \cup C) ~\&~ (x \in B \cup C) \Rightarrow $

$\Rightarrow x \in (A \cup C) \cap (B \cup C)$

А как можно объяснить вот это следствие? $(x \in A~\&~x \in B) \lor x \in C \Rightarrow (x \in A \lor x \in C) ~\&~ (x \in B \lor x \in C) $ ?

[Joker_vD]

Это дистрибутивность: $(a\vee b)\wedge c\equiv (a\wedge c)\vee (b\wedge c)$, $(a\wedge b)\vee c\equiv (a\vee c)\wedge (b\vee c)$.

[samuil]

Joker_vD в сообщении #562620 писал(а):

Это дистрибутивность: $(a\vee b)\wedge c\equiv (a\wedge c)\vee (b\wedge c)$, $(a\wedge b)\vee c\equiv (a\vee c)\wedge (b\vee c)$.

Спасибо, понятно! А как в это случае доказать, кажется тут тоже нужно воспользоваться дистрибутивностью, но как? Тут ведь 4 множества...

$(A\cap C)\cup(B\cap D)\subset (A\cup B)\cap(C\cup D)$

$x \in (A \cap C) \cup (B \cap D) \Rightarrow x \in (A \cap C)~\lor~x \in (B \cap D) \Rightarrow$

$\Rightarrow (x \in A \wedge x \in C) \lor (x\in B \wedge x\in D) $

[arseniiv]

Одну из этих скобок возьмите как целое.

-- Пн апр 23, 2012 00:05:24 --

Т. е. подстановка для получения из этого

Joker_vD в сообщении #562620 писал(а):

$(a\wedge b)\vee c\equiv (a\vee c)\wedge (b\vee c)$

тождества того, что вам нужно, будет такая:
$\begin{array}{l} a = x \in A \\ b = x \in C \\ c = (x \in B \wedge x \in D). \end{array}$

[samuil]

arseniiv в сообщении #562813 писал(а):

Одну из этих скобок возьмите как целое.

-- Пн апр 23, 2012 00:05:24 --

Т. е. подстановка для получения из этого

Joker_vD в сообщении #562620 писал(а):

$(a\wedge b)\vee c\equiv (a\vee c)\wedge (b\vee c)$

тождества того, что вам нужно, будет такая:
$\begin{array}{l} a = x \in A \\ b = x \in C \\ c = (x \in B \wedge x \in D). \end{array}$

Вот так получается...

$$(x \in A\wedge x \in C)\vee (x \in B \wedge x \in D) \equiv (x \in A\vee (x \in B \wedge x \in D) )\wedge (x \in C\vee (x \in B \wedge x \in D))$$

Как-то слишком много вложений...