Дождь

[obar]

dovlato в сообщении #562129 писал(а):

Поскольку отдаю себе отчёт, что фиксировать текущее время в моих силах - но уж никак не число капель.

Ну, это вы загнули. Контролировать число капель проще простого -- капайте себе по одной и считайте. Время здесь вообще ни какой роли не играет (капните вы 10 капель за час или за секунду). Задача ставилась так: "Найти среднюю площадь на плитке, намоченную $N$ каплями."

dovlato в сообщении #561924 писал(а):

Я толкую о пуассоновском случайном процессе - а они играются в интегралы..

Пуассоновский процесс к данной постановке задачи отношения не имеет. Хотите поиграться в непрерывность -- играйтесь.

Munin в сообщении #562056 писал(а):

Ну а если как раз случай большого числа капель и интересует?

Интересно тут то, что простая формула $S_N=S_0(1-(1-s/S_0)^N)$ похоже справедлива во всех случаях: для любых $N$ с учетом всевозможных перекрытий между каплями. Заменять эту простую точную формулу приближенной не вижу смысла.

[Munin]

obar в сообщении #562142 писал(а):

Заменять эту простую точную формулу приближенной не вижу смысла.

Ну, хотя бы не заменять, а переписать в более естественном для физики виде, типа
$S(M)=S_0(1-e^{-\frac{M}{m}\frac{s}{S_0}})$
можно было бы...

[dovlato]

Ес-нно, игры могут быть любыми. Мне, например, капать из капельницы скучно, а вот наблюдать за дождём кажется прикосновением к чему-то высшему, не мною придуманному.

[romka_pomka]

Формула mihiv'а верна потому, что:

Цитата:

1. Упала первая капля и намочила площадку $s^*$. Тогда для бесконечно малого элемента нашей квадратной плитки $ds$ вероятность оказаться сухим : $1-\frac{s^*}{S_0}$.

2. Капли падают независимо, значит вероятность того, что элемент $ds$ останется сухим после $N$ капель - есть произведение вероятностей от каждой капли.

3. Вероятность того, что элемент $ds$ останется сухим после $N$ капель: $(1-\frac{s^*}{S_0})^N$

4. Тогда вся сухая площадь:

$$ S=\int_0^{S_0}(1-\frac{s^*}{S_0})^Nds = S_0(1-\frac{s^*}{S_0})^N $$

5. Формы плитки и капли несущественны.

[dovlato]

[quote="romka_pomka в сообщении #562321"]
4. Тогда вся сухая площадь:

$$ S=\int_0^{S_0}(1-\frac{s^*}{S_0})^Nds = S_0(1-\frac{s^*}{S_0})^N $$

5. Формы плитки и капли несущественны.
Мне это всё понравилось: просто и убедительно. Кстати, если $n$ - пуассоновская случайная переменная, то получается та самая
экспонента $S_0\exp \left(-\frac{s}{S_0}\nu t\right)$. И ещё одно кстати; если $f(s)$ - плотность распределения площади пятна от капли,
то для данного $n$ математич. ожидание сухой площади вычисляется интегрированием

$$\langle S\rangle = \int_0^{\infty} f(s)\left(1-\frac{s}{S_0} \right)^n ds$$

Если же усреднить по пуассоновскому распределению случайной переменной $n$, то

$$\langle S\rangle =\varphi \left(\frac{\nu t}{S_0}\right)$$

Здесь

$$\varphi (z)=\int_0^{\infty} f(s)\exp(-z s)ds$$

- преобразование Лапласа от плотности распределения $s$.