доказать простую равносильность

[larkova_alina]

Доказать, что $\left(2a,\; a+b,\; c \in \mathbb{Z}\right) \Longleftrightarrow \left(\forall x\left( x\in \mathbb{Z} \Rightarrow f(x)=ax^2+bx+c \in \mathbb{Z}\right)\right).$
Товарищи математики подскажите плз, а то меня заклинило на одном месте.
Пусть $\forall x\left( x\in \mathbb{Z} \Rightarrow ax^2+bx+c \in \mathbb{Z}\right).$
$f(0)=c \in \mathbb{Z},$
$f(1)=a+b+c\in \mathbb{Z} \Rightarrow a+b \in \mathbb{Z},$
$f(-1)=a-b+c\in \mathbb{Z} \Rightarrow a-b \in \mathbb{Z},$
$(a+b)+(a-b)=2a \in \mathbb{Z}$.
А вот как в обратную сторону? Подскажите плз.

[mihailm]

ну по индукции очевидно

[larkova_alina]

mihailm в сообщении #562213 писал(а):

ну по индукции очевидно

А можно поконкретнее?

[AV_77]

Просто рассмотрите два случая - когда $a$ целое и когда $a = \frac{p}{2}$. В первом все очевидно, а второй выделением целой части сводится к $\frac{1}{2}(x^2+x)$. А тут тоже все понятно.

[mihailm]

larkova_alina в сообщении #562215 писал(а):

mihailm в сообщении #562213 писал(а):

ну по индукции очевидно

А можно поконкретнее?

в начале в плюс пойдем, база индукции х=0, индуктивный переход напишите

[larkova_alina]

1. $f(0)=c \in \mathbb{Z}.$
2. Пусть $f(k)=ak^2+kb+c \in \mathbb{Z}.$
Тогда $f(k+1)=a(k+1)^2+b(k+1)+c=(ak^2+bk+c)+(a+b)+2ak \in \mathbb{Z}.$
Аналогично и в отрицательную сторону.
Так?

[nnosipov]

А можно просто написать тождество

$$ax^2+bx+c=2a\frac{x^2-x}{2}+(a+b)x+c$$

.

[larkova_alina]

Пусть $a\in\mathbb{Z}$. Тогда $b=(a+b)-a\in\mathbb{Z}.$
$f(x)=x(ax+b)+c\in \mathbb{Z},\;\;$ $\forall x \in\mathbb{Z}.$
Теперь пусть $a=\frac{p}{2},\;$где $p-$нечетное. Тогда $b=(a+b)-a=\frac{q}{2},\;$где $q-$нечетное.
$f(x)=x(\frac{p}{2}x+\frac{q}{2})+c=\frac{x}{2}(px+q)+c.$
Пусть $x-$четно, тогда очевидно $f(x)\in\mathbb{Z}$;
Пусть $x-$нечетно, тогда $px+q$-четно и опять $f(x)\in\mathbb{Z}$.
AV_77, все верно?

-- 20.04.2012, 21:38 --

nnosipov в сообщении #562234 писал(а):

А можно просто написать тождество

$$ax^2+bx+c=2a\frac{x^2-x}{2}+(a+b)x+c$$

.

Это самое прикольное решение!