Комета в атмосфере

[Omega]

Всем доброго времени суток.Помогите с такой вот задачей:
В атмосферу Земли на высоте $H$ входит идеально сферическая железная ( $\rho=7874 kg/m^{3}$ ) комета. Оцените критический радиус кометы, при котором она ещё не достигнет поверхности Земли.Считайте,что во время движения,комета не вращается и плавится равномерно,а также,что сила сопротивления воздуха равна $F=\frac{C_{x} \rho_{c} S v^{2}}{2}$.Удельная теплоёмкость железа - $c=444$ Дж/(кг °C),удельная теплота плавления - $\lambda=277000$ Дж/кг;удельная теплота испарения - $L=6340000$ Дж/кг;$C_{x} \approx 0.4$;$G \approx 6.67 \cdot 10^{-11}$;$P_{A}=101325 $ Па;$M \approx 0.029 $ кг/моль;$R \approx 8.3145$;$R_{0}=6378100$ м;$M_{0}=5.97 \cdot 10^{24}$ кг.

Я даже не знаю с чего начать...Меняется всё: плотность и температура среды ,ускорение свободного падения,радиус кометы...

Так скажем, начало:

$$\rho_{c}(x)=\frac{M P_{A} e^{-\frac{Mgx}{R T}}}{R T};S=\pi R^{2};g(x)=\frac{GM_{0}}{(R_{0}+x)^{2}}$$

$$Q=c m \Delta t +L m+\lambda m=\int\limits_{0}^{L_{max}} F(x) dx;F(x)=\frac{C_{x} \rho_{c} S (\frac{dx}{dt})^{2}}{2}$$

$$dQ=c \cdot dm \cdot dt;dm=\rho \cdot dV;dV=\frac{4 \pi R^{3}}{3}-\frac{4 \pi (R-dR)^{3}}{3}=4/3\,\pi \,{\it dR}\, \left( 3\,{R}^{2}-3\,R{\it dR}+{{\it dR}}^{2} \right) $$

Что делать с частью кометы, что уже нагрелась до температуры плавления?

[Munin]

Omega в сообщении #562124 писал(а):

Что делать с частью кометы, что уже нагрелась до температуры плавления?

Спросить у автора задачи. Либо он подразумевал, что жидкая часть остаётся вместе с кометой, пока не испарится, либо догадывался, что её просто сорвёт потоком воздуха.

А вообще, железных комет не бывает. Кометы в основном состоят из льда, сухого льда, и всякой грязи типа вещества метеоритов (железо, кремний, что-то ещё), причём в отличие от метеоритов, очень рыхлой. Плотность 8 г/куб. см - невероятно много для кометы, да и развалится она в атмосфере тридцать раз.

С такими грубыми (и местами нереалистичными) упрощениями, самое лучшее, что можно сделать - это дать качественную оценку.

[Omega]

Вероятно, что жидкую часть действительно сорвёт с кометы потоком воздуха.
Но всё же возможно ли решить эту задачу даже и с такими грубыми упрощениями?...

[Praded]

А, разве, от первоначальной скорости кометы ответ зависеть не будет? Мне представляется, что исходных данных недостаточно.

[Alex-Yu]

Omega в сообщении #562141 писал(а):

Но всё же возможно ли решить эту задачу даже и с такими грубыми упрощениями?...

Можно. Еще понадобится скорость и угол входа в атмосферу. Но по смыслу задачи тут можно говорить о случае, максимльно неблагоприятном (с точки зрения того, кому по голове этой железякой попасть может). Видимо (но надо бы исследовать) такой самый неблагоприятный случай это когда железяка падет строго вертикально. При этом и решение наиболее простое. Кстати, совсем не исключаю, что начальная скорость может в ответе и сократиться. Быстрее летит -- быстрее плавится. Но и времени чтобы по поверхности долбануть меньше. Одно может скомпенсировать другое.

Что же до слова "комета", то это нонсенс, конечно. Надо заменить комету на метеорит. Еще забавна фраза "В атмосферу Земли на высоте $H$ входит". Нет такой высоты, чтобы выше атмосферы вообще не было, а ниже бы бац, и скачком появлялась.

[Praded]

Если упрощать, то плотность атмосферы можно найти в стандартных таблицах, где она указана в зависимости от высоты.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #562187 писал(а):

Нет такой высоты, чтобы выше атмосферы вообще не было, а ниже бы бац, и скачком появлялась.

Ну, на некоторой высоте нагрев может давать такой мизер, что им можно пренебречь.

[Omega]

Да,конечно,от первоначальной скорости будет многое зависеть,но видимо в задаче предполагалось,что начальная скорость будет средне-статистической для обычных метеоритов.Ну а какая она я не знаю?Что же каксается высоты $H$, то по-моему эта граничная высота атмосферы Земли (более или менее плотная) - термосфера ($H \approx 800$ км).

[Munin]

Omega в сообщении #562340 писал(а):

Ну а какая она я не знаю?

Десятки км/сек.

Omega в сообщении #562340 писал(а):

Что же каксается высоты $H$, то по-моему эта граничная высота атмосферы Земли (более или менее плотная) - термосфера ($H \approx 800$ км).

На таких высотах атмосферы так мало, что там спутники летают по многу лет, и не снижаются. Для спутников высоты, где чувствуется атмосфера (и приходится подтягивать вверх орбиту) - порядка 100 км, а здесь, может быть, надо вообще начинать с 20-10 км.

[Omega]

У кого-нибудь есть идея как вычислить путь $l$, который необходимо проделать метеориту,чтобы нагреть его слой толщиной $dR$ до температуры плавления ?Я вот так думаю:если рассматривать самый простой случай, то

$$dQ=c (t'-t_{0}) dm=dA$$

$$dA=\int \limits_{0}^{l} \left (\frac{\rho_{c} C_{x} \pi R^{2} v^{2}}{2} \right) dx$$

Пусть $\frac{\rho_{c} C_{x} \pi}{2}=\alpha \Rightarrow $

$$dA=\alpha \int \limits_{0}^{l} \frac{(R v)^{2}}{2} dx$$

Также

$$\left( \frac{4 \pi \rho R^{3}}{3}\right) a=\left( \frac{4 \pi \rho R^{3}}{3}\right) g-\frac{\rho_{c} C_{x} \pi R^{2} v^{2}}{2} \Rightarrow $$

$$R=\frac{3 \rho_{c} C_{x} v^{2}}{8 \rho (g-a)} \Rightarrow$$

$$dA=\frac{\alpha}{2} \left (\frac{3 \rho_{c} C_{x}}{8 \rho} \right)^{2} \int \limits_{0}^{l}\left (\frac{v^{3}}{g-a}\right)^{2} dx$$

Если $ \beta=\frac{3 \rho_{c} C_{x}}{8 \rho}$, тогда окончательно:

$$dA=\frac{\alpha \beta^{2}}{2} \int \limits_{0}^{l} \left (\frac{v^{3}}{g-a}\right)^{2} dx$$

Пока всё...Не знаю вообще правильно ли я всё сделал?