2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Дождь
Сообщение18.04.2012, 21:47 
Нет, Obar. Просто у меня некоторый опыт в вероятностных вычислениях. Первое моё уравнение - не более чем полуинтуитивная догадка, как я сразу и предупредил. Второй результат - абсолютно безупречен. Разумеется, если учитывать, что две (три, четыре..) совпавшие капли в реальности дают пятно бОльших размеров за счёт растекающейся воды - это уже было бы сложновато учесть. Я оставался в рамках модели.

 
 
 
 Re: Дождь
Сообщение18.04.2012, 21:58 
Мне нет дела до вашего опыта (у меня он тоже есть). Случай $N=2$ расчитывается точно без всяких проблем, результат я приводил. Ваше мнение пусть остается с вами, дебаты по этому поводу я вести не хочу. Если есть конструктивные замечания -- укажите.

 
 
 
 Re: Дождь
Сообщение18.04.2012, 22:37 
Избавь Бог.. Главное для меня найти решение, удовлетворяющее меня самого.

 
 
 
 Re: Дождь
Сообщение19.04.2012, 05:32 
dovlato в сообщении #561654 писал(а):
Главное для меня найти решение, удовлетворяющее меня самого.

(Оффтоп)

Прям подход инженера:меня бы устроило решение чтоб площадка была полностью сухой, что делать? - ставим зонтик. :wink:

 
 
 
 Re: Дождь
Сообщение19.04.2012, 06:21 
В данном случае - скорее вероятностника, а не инженера. Понимаете, я сразу задался моделью пуассоновского процесса, наиболее естественной в данной конкретной задаче (кто-нибудь с этим не согласится?).
Модель дарит простоту для определения именно мат. ожидания, и избавляет от всей этой полубезумной затеи с интегрированием по всем возможным пересечениям всех возможных чисел (!) упавших капель. Но, конечно, уже для второго момента пришлось бы заняться вычислением однократных пересечений (то, что сделал Obar), для третьего - двукратных и т.д.
Для получения уже не мат. ожидания, а решения более сложной задачи определения распределения, здесь разумно было бы перейти от фиксированного пятна капли - так же к распределению её радиуса, например рэлеевскому, или, может, гамма. Потому что с кружками здесь вряд ли чего добьёшься..

 
 
 
 Re: Дождь
Сообщение19.04.2012, 09:43 
Прямой расчет полезен для того, чтобы убедиться, что модель работает. Когда эта уверенность появляется можно искать её простые обоснования. Думаю, формулу $S_N=S_0(1-(1-s/S_0)^N)$ вполне можно обосновать, приведя те же рассуждения, что и при получении исходного рекуррентного соотношения, но не для целых капель (для них вероятность перекрытия конечна), а предварительно раздробив их на множество малых частей (т.е. добавляется не капля целиком, а "облачко" ее составляющих).

 
 
 
 Re: Дождь
Сообщение19.04.2012, 14:56 
obar в сообщении #561735 писал(а):
Думаю, формулу $S_N=S_0(1-(1-s/S_0)^N)$ вполне можно обосновать, приведя те же рассуждения, что и при получении исходного рекуррентного соотношения, но не для целых капель (для них вероятность перекрытия конечна), а предварительно раздробив их на множество малых частей
Это я уже говорил, чем вызвал всплеск эмоций у ТС.

 
 
 
 Re: Дождь
Сообщение19.04.2012, 17:52 
Дополнительный аргумент в пользу формулы $a_n=S_0(1-(1-\frac s{S_0})^n)\qquad (1)$.Получим рекуррентную формулу,учитывая неполные парные перекрытия капель:$$a_{n+1}=a_n+s(1-\frac {4a_n}{S_0})+\bar s\frac {4a_n}{S_0}=s+a_n(1-\frac {4(s-\bar s)}{S_0})\qquad (2)$$Здесь $\bar s$-средняя площадь,добавляемая к "мокрой" части при перекрывании 2-х капель.Она посчитана obar-ом и равна:$\bar s=s_2-s=\frac 74s-s=\frac 34s$.Подставляя $\bar s$ в (2) получим рекуррентную формулу,приведенную dovlato и следующую из нее формулу для $a_n$.

 
 
 
 Re: Дождь
Сообщение19.04.2012, 19:35 
$\frac{4a_n}{S_0}$ -- вероятность попадания в "мокрую" область лишь для попарно не перекрывающихся капель.

 
 
 
 Re: Дождь
Сообщение19.04.2012, 20:57 
Чёткое ощущение, что обретаюсь среди глухих. Я толкую о пуассоновском случайном процессе - а они играются в интегралы.. Бурное и самодостаточное изобретение колёс.

 
 
 
 Re: Дождь
Сообщение20.04.2012, 06:09 
Найдем математическое ожидание мокрой площади после падения $N+1$ капли с учетом любого перекрытия с мокрой поверхностью от $N$ предыдущих капель. Это мат. ожидание определяется формулой: $$a_{n+1}=a_n+s(1-k)$$, где $k$ - усредненный коэффициент перекрытия капли с мокрой поверхностью.
Определим $k$:$$k_i=\frac{s_x}s$$, где $k_i$ коэф. перекрытия капли в месте ее падения, $s_x$ величина мокрой площади в месте падения капли. Средний коэф. перекрытия определяется по формуле: $$k=\frac{\sum{k_i}}{\sum{i}}=\frac{\frac1s\sum{s_x}}{S_0/s}=\frac{a_n}{S_0}$$ Подставляя в формулу для мат.ожидания $a_{n+1}$ получим:$$a_{n+1}=a_n+s(1-\frac{a_n}{S_0})=s+a_n(1-\frac{s}{S_0})$$ Т.е. получилось приводимое ранее рекурентное ур-е. Как видно оно справедливо при любом перекрытие капель и соответственно справедлива формула $a_n=S_0(1-(1-\frac{s}{S_0})^n)$

-- 20.04.2012, 09:19 --

dovlato в сообщении #561924 писал(а):
Я толкую о пуассоновском случайном процессе

В том то и дело, что Вы рассматриваете непрерывный процесс, а по условию задачи он дискретный и поэтому (в рамках условий) Ваш переход $\nu t=N$ не правомерен. Такой переход можно допустить лишь в пределе для очень больших $N$, а для малого числа капель никак не допустимо, на что Вам указывал obar

 
 
 
 Re: Дождь
Сообщение20.04.2012, 11:11 
Аватара пользователя
Ну а если как раз случай большого числа капель и интересует?

 
 
 
 Re: Дождь
Сообщение20.04.2012, 11:39 
Munin в сообщении #562056 писал(а):
Ну а если как раз случай большого числа капель и интересует?

В рамках этой задачи, или какой-то другой?

 
 
 
 Re: Дождь
Сообщение20.04.2012, 14:12 
Аватара пользователя
Этой.

Я, например, только так и воспринял вопрос, как, опираясь на формулу для малых $N,$ перейти к приближению для больших. Правда, щас понимаю, что достичь его можно и проще.

Я ещё опирался на то, что вопрос задан в разделе "Физика". Упражнения с отдельными каплями интересны разве что для геометрии и теории вероятности, а для физики всё это - только переходный шаг к рассмотрению ситуации, когда начал лить дождь, но за отдельными каплями мы не следим (хотя можем для отдельных капель что-то оценить).

 
 
 
 Re: Дождь
Сообщение20.04.2012, 15:02 
Я рассматриваю его единственно возможным образом - как непрерывный. Поскольку отдаю себе отчёт, что фиксировать текущее время в моих силах - но уж никак не число капель. В рамках пуассоновской модели полученное выражение для математич. ожидания - это не аппроксимация, а точный результат для всех $0<t<\infty$.

 
 
 [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group